Álgebra Ejemplos

${(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x} = 1$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x}) = \ln (1)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x})$ ; para ello, mueve $4 - x$ fuera del logaritmo.

$(4 - x) \ln (2^{x^{2} - 2 x}) = \ln (1)$

Paso 2.2

Expande $\ln (2^{x^{2} - 2 x})$ ; para ello, mueve $x^{2} - 2 x$ fuera del logaritmo.

$(4 - x) ((x^{2} - 2 x) \ln (2)) = \ln (1)$

Paso 2.3

Elimina los paréntesis.

$(4 - x) (x^{2} - 2 x) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $(4 - x) (x^{2} - 2 x) \ln (2)$ .

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Paso 3.1.1

Expande $(4 - x) (x^{2} - 2 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 (x^{2} - 2 x) - x (x^{2} - 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x^{2} + 4 (- 2 x) - x (x^{2} - 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x^{2} + 4 (- 2 x) - x \cdot x^{2} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x \cdot x^{2} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 8 x - (x^{2} x) - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.1.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x - (x^{2} x^{1}) - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(4 x^{2} - 8 x - x^{2 + 1} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 x \cdot x) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 (x \cdot x)) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 x^{2}) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} + 2 x^{2}) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.2.2

Suma $4 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$(6 x^{2} - 8 x - x^{3}) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) - x^{3} \ln (2) = \ln (1)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) - x^{3} \ln (2) = 0$

Paso 5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1

Mueve $- 8 x \ln (2)$ .

$6 x^{2} \ln (2) - x^{3} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Paso 5.2

Reordena $6 x^{2} \ln (2)$ y $- x^{3} \ln (2)$ .

$- x^{3} \ln (2) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Paso 6

Factoriza $x \ln (2)$ de $- x^{3} \ln (2) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x \ln (2)$ de $- x^{3} \ln (2)$ .

$x \ln (2) (- x^{2}) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Paso 6.2

Factoriza $x \ln (2)$ de $6 x^{2} \ln (2)$ .

$x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x) - 8 x \ln (2) = 0$

Paso 6.3

Factoriza $x \ln (2)$ de $- 8 x \ln (2)$ .

$x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x) + x \ln (2) \cdot - 8 = 0$

Paso 6.4

Factoriza $x \ln (2)$ de $x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x)$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 x) + x \ln (2) \cdot - 8 = 0$

Paso 6.5

Factoriza $x \ln (2)$ de $x \ln (2) (- x^{2} + 6 x) + x \ln (2) \cdot - 8$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 x - 8) = 0$

Paso 7

Factoriza.

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Paso 7.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 8 = 8$ y cuya suma es $b = 6$ .

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Paso 7.1.1.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 (x) - 8) = 0$

Paso 7.1.1.2

Reescribe $6$ como $2$ más $4$

$x \ln (2) (- x^{2} + (2 + 4) x - 8) = 0$

Paso 7.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (2) (- x^{2} + 2 x + 4 x - 8) = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x \ln (2) ((- x^{2} + 2 x) + 4 x - 8) = 0$

Paso 7.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x \ln (2) (x (- x + 2) - 4 (- x + 2)) = 0$

Paso 7.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$x \ln (2) ((- x + 2) (x - 4)) = 0$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x \ln (2) (- x + 2) (x - 4) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$- x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 9

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 10

Establece $- x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $- x + 2$ igual a $0$ .

$- x + 2 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $- x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 10.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 11

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 11.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $x \ln (2) (- x + 2) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2, 4$