Álgebra Ejemplos

$\sqrt{x^{2} - 2 x} < \sqrt{3 x + 6}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x^{2} - 2 x}}^{2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 2 x}$ como ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} - 2 x)}^{1} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${\sqrt{3 x + 6}}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $3$ de $3 x + 6$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 (x) + 6}}^{2}$

Paso 2.3.1.1.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 x + 3 \cdot 2}}^{2}$

Paso 2.3.1.1.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 (x + 2)}}^{2}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{3 (x + 2)}}^{2}$ como $3 (x + 2)$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 (x + 2)}$ como ${(3 (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - 2 x < {({(3 (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{1}$

Paso 2.3.1.2.5

Simplifica.

$x^{2} - 2 x < 3 (x + 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 2 x < 3 x + 3 \cdot 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$x^{2} - 2 x < 3 x + 6$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 3.1.1

Resta $3 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} - 2 x - 3 x < 6$

Paso 3.1.2

Resta $3 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 5 x < 6$

Paso 3.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 5 x = 6$

Paso 3.3

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $x^{2} - 5 x - 6$ con el método AC.

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Paso 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 6, 1$

Paso 3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 6) (x + 1) = 0$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.6

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 3.7

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 1$

Paso 4

Obtén el dominio de $\sqrt{x (x - 2)} - \sqrt{3 (x + 2)}$ .

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Paso 4.1

Establece el radicando en $\sqrt{x (x - 2)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x (x - 2) \geq 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 2) \geq 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 4.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Paso 4.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 4.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$(- 2) ((- 2) - 2) \geq 0$

Paso 4.2.6.1.3

$8$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 4.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$(1) ((1) - 2) \geq 0$

Paso 4.2.6.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 4.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$(4) ((4) - 2) \geq 0$

Paso 4.2.6.3.3

$8$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 4.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq 0$ o $x \geq 2$

Paso 4.3

Establece el radicando en $\sqrt{3 (x + 2)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 (x + 2) \geq 0$

Paso 4.4

Resuelve $x$

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Paso 4.4.1

Divide cada término en $3 (x + 2) \geq 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.4.1.1

Divide cada término en $3 (x + 2) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 4.4.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 4.4.1.2.1.2

Divide $x + 2$ por $1$ .

$x + 2 \geq \frac{0}{3}$

Paso 4.4.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x + 2 \geq 0$

Paso 4.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 2$

Paso 4.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 2, 0] \cup [2, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\sqrt{{(- 4)}^{2} - 2 \cdot - 4} < \sqrt{3 (- 4) + 6}$

Paso 6.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1.5$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1.5$ en la desigualdad original.

$\sqrt{{(- 1.5)}^{2} - 2 \cdot - 1.5} < \sqrt{3 (- 1.5) + 6}$

Paso 6.2.3

$2.29128784$ del lado izquierdo no es menor que $1.22474487$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.5$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $- 0.5$ en la desigualdad original.

$\sqrt{{(- 0.5)}^{2} - 2 \cdot - 0.5} < \sqrt{3 (- 0.5) + 6}$

Paso 6.3.3

$1.11803398$ del lado izquierdo es menor que $2.12132034$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.4

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.4.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 6.4.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\sqrt{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1} < \sqrt{3 (1) + 6}$

Paso 6.4.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.5

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.5.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 6.5.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\sqrt{{(4)}^{2} - 2 \cdot 4} < \sqrt{3 (4) + 6}$

Paso 6.5.3

$2.82842712$ del lado izquierdo es menor que $4.24264068$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.6

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 6.6.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\sqrt{{(8)}^{2} - 2 \cdot 8} < \sqrt{3 (8) + 6}$

Paso 6.6.3

$6.92820323$ del lado izquierdo no es menor que $5.47722557$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.7

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 < x < 0$ o $2 < x < 6$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 1 < x < 0 or 2 < x < 6$

Notación de intervalo:

$(- 1, 0) \cup (2, 6)$

Paso 9