Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{5}} = x^{a}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $x^{a} = \frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{5}}$ .

$x^{a} = \frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{5}}$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (x^{a}) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{5}})$

Paso 3

Expande $\ln (x^{a})$ ; para ello, mueve $a$ fuera del logaritmo.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{5}})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $\ln (\frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{5}})$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $x^{3}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{3} x^{2}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{5}})$

Paso 4.1.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x \sqrt[3]{x^{2}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{5}})$

Paso 4.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{5}$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 5}})$

Paso 4.1.2.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $5$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5}{3}}})$

Paso 4.1.2.2

Mueve $x^{1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5}{3}} x^{- 1}})$

Paso 4.1.3

Multiplica $x^{\frac{5}{3}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5}{3} - 1}})$

Paso 4.1.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}})$

Paso 4.1.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}})$

Paso 4.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}})$

Paso 4.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{5 - 3}{3}}})$

Paso 4.1.3.5.2

Resta $3$ de $5$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 5

Divide cada término en $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{2}{3}}})$ por $\ln (x)$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{2}{3}}})$ por $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{2}{3}}})}{\ln (x)}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{2}{3}}})}{\ln (x)}$

Paso 5.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{\ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{\frac{2}{3}}})}{\ln (x)}$