Álgebra Ejemplos

$\frac{2}{3 - X} + \frac{3}{X + 3} = \frac{6 X}{X^{2} - 9}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2}{3 - X} + \frac{3}{X + 3} = \frac{6 X}{X^{2} - 3^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = X$ y $b = 3$ .

$\frac{2}{3 - X} + \frac{3}{X + 3} = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 - X, X + 3, (X + 3) (X - 3)$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $3 - X$ es $3 - X$ en sí mismo.

$(3 - X) = 3 - X$

$(3 - X)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $X + 3$ es $X + 3$ en sí mismo.

$(X + 3) = X + 3$

$(X + 3)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $X - 3$ es $X - 3$ en sí mismo.

$(X - 3) = X - 3$

$(X - 3)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El MCM de $3 - X, X + 3, X + 3, X - 3$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(3 - X) (X + 3) (X - 3)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{2}{3 - X} + \frac{3}{X + 3} = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)}$ por $(3 - X) (X + 3) (X - 3)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{3 - X} + \frac{3}{X + 3} = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)}$ por $(3 - X) (X + 3) (X - 3)$ .

$\frac{2}{3 - X} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $3 - X$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Factoriza $3 - X$ de $(3 - X) (X + 3) (X - 3)$ .

$\frac{2}{3 - X} ((3 - X) ((X + 3) (X - 3))) + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3 - X} ((3 - X) ((X + 3) (X - 3))) + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$2 ((X + 3) (X - 3)) + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.2

Expande $(X + 3) (X - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (X (X - 3) + 3 (X - 3)) + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (X \cdot X + X \cdot - 3 + 3 (X - 3)) + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (X \cdot X + X \cdot - 3 + 3 X + 3 \cdot - 3) + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.3

Combina los términos opuestos en $X \cdot X + X \cdot - 3 + 3 X + 3 \cdot - 3$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Reordena los factores en los términos $X \cdot - 3$ y $3 X$ .

$2 (X \cdot X - 3 X + 3 X + 3 \cdot - 3) + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.3.2

Suma $- 3 X$ y $3 X$ .

$2 (X \cdot X + 0 + 3 \cdot - 3) + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.3.3

Suma $X \cdot X$ y $0$ .

$2 (X \cdot X + 3 \cdot - 3) + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.4.1

Multiplica $X$ por $X$ .

$2 (X^{2} + 3 \cdot - 3) + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.4.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$2 (X^{2} - 9) + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 X^{2} + 2 \cdot - 9 + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$2 X^{2} - 18 + \frac{3}{X + 3} ((3 - X) (X + 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.7

Cancela el factor común de $X + 3$ .

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Paso 3.2.1.7.1

Factoriza $X + 3$ de $(3 - X) (X + 3) (X - 3)$ .

$2 X^{2} - 18 + \frac{3}{X + 3} ((X + 3) ((3 - X) (X - 3))) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.7.2

Cancela el factor común.

$2 X^{2} - 18 + \frac{3}{X + 3} ((X + 3) ((3 - X) (X - 3))) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.7.3

Reescribe la expresión.

$2 X^{2} - 18 + 3 ((3 - X) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.8

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$2 X^{2} - 18 + 3 ((- 1 (- 3) - X) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.9

Factoriza $- 1$ de $- X$ .

$2 X^{2} - 18 + 3 ((- 1 (- 3) - (X)) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.10

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 3) - (X)$ .

$2 X^{2} - 18 + 3 (- 1 (- 3 + X) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.11

Reordena los términos.

$2 X^{2} - 18 + 3 (- 1 (X - 3) (X - 3)) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.12

Eleva $X - 3$ a la potencia de $1$ .

$2 X^{2} - 18 + 3 (- 1 ({(X - 3)}^{1} (X - 3))) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.13

Eleva $X - 3$ a la potencia de $1$ .

$2 X^{2} - 18 + 3 (- 1 ({(X - 3)}^{1} {(X - 3)}^{1})) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 X^{2} - 18 + 3 (- 1 {(X - 3)}^{1 + 1}) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.15

Suma $1$ y $1$ .

$2 X^{2} - 18 + 3 (- 1 {(X - 3)}^{2}) = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.2.1.16

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 {(X - 3)}^{2} = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((3 - X) (X + 3) (X - 3))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $(X + 3) (X - 3)$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Factoriza $(X + 3) (X - 3)$ de $(3 - X) (X + 3) (X - 3)$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 {(X - 3)}^{2} = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((X + 3) (X - 3) (3 - X))$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$2 X^{2} - 18 - 3 {(X - 3)}^{2} = \frac{6 X}{(X + 3) (X - 3)} ((X + 3) (X - 3) (3 - X))$

Paso 3.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$2 X^{2} - 18 - 3 {(X - 3)}^{2} = 6 X (3 - X)$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 X^{2} - 18 - 3 {(X - 3)}^{2} = 6 X \cdot 3 + 6 X (- X)$

Paso 3.3.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1.3.1

Multiplica $3$ por $6$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 {(X - 3)}^{2} = 18 X + 6 X (- X)$

Paso 3.3.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 X^{2} - 18 - 3 {(X - 3)}^{2} = 18 X + 6 \cdot - 1 X \cdot X$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $X$ por $X$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.1

Mueve $X$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 {(X - 3)}^{2} = 18 X + 6 \cdot - 1 (X \cdot X)$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $X$ por $X$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 {(X - 3)}^{2} = 18 X + 6 \cdot - 1 X^{2}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 {(X - 3)}^{2} = 18 X - 6 X^{2}$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $X$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $18 X$ de ambos lados de la ecuación.

$2 X^{2} - 18 - 3 {(X - 3)}^{2} - 18 X = - 6 X^{2}$

Paso 4.1.2

Suma $6 X^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 X^{2} - 18 - 3 {(X - 3)}^{2} - 18 X + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.1

Reescribe ${(X - 3)}^{2}$ como $(X - 3) (X - 3)$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 ((X - 3) (X - 3)) - 18 X + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.3.2

Expande $(X - 3) (X - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 X^{2} - 18 - 3 (X (X - 3) - 3 (X - 3)) - 18 X + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 X^{2} - 18 - 3 (X \cdot X + X \cdot - 3 - 3 (X - 3)) - 18 X + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 X^{2} - 18 - 3 (X \cdot X + X \cdot - 3 - 3 X - 3 \cdot - 3) - 18 X + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.3.1.1

Multiplica $X$ por $X$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 (X^{2} + X \cdot - 3 - 3 X - 3 \cdot - 3) - 18 X + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.3.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $X$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 (X^{2} - 3 \cdot X - 3 X - 3 \cdot - 3) - 18 X + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.3.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 (X^{2} - 3 X - 3 X + 9) - 18 X + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.3.3.2

Resta $3 X$ de $- 3 X$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 (X^{2} - 6 X + 9) - 18 X + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 X^{2} - 18 - 3 X^{2} - 3 (- 6 X) - 3 \cdot 9 - 18 X + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.3.5

Simplifica.

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Paso 4.1.3.5.1

Multiplica $- 6$ por $- 3$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 X^{2} + 18 X - 3 \cdot 9 - 18 X + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.3.5.2

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 X^{2} + 18 X - 27 - 18 X + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.4

Combina los términos opuestos en $2 X^{2} - 18 - 3 X^{2} + 18 X - 27 - 18 X + 6 X^{2}$ .

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Paso 4.1.4.1

Resta $18 X$ de $18 X$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 X^{2} + 0 - 27 + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $2 X^{2} - 18 - 3 X^{2}$ y $0$ .

$2 X^{2} - 18 - 3 X^{2} - 27 + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.5

Resta $3 X^{2}$ de $2 X^{2}$ .

$- X^{2} - 18 - 27 + 6 X^{2} = 0$

Paso 4.1.6

Suma $- X^{2}$ y $6 X^{2}$ .

$5 X^{2} - 18 - 27 = 0$

Paso 4.1.7

Resta $27$ de $- 18$ .

$5 X^{2} - 45 = 0$

Paso 4.2

Suma $45$ a ambos lados de la ecuación.

$5 X^{2} = 45$

Paso 4.3

Divide cada término en $5 X^{2} = 45$ por $5$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $5 X^{2} = 45$ por $5$ .

$\frac{5 X^{2}}{5} = \frac{45}{5}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 X^{2}}{5} = \frac{45}{5}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $X^{2}$ por $1$ .

$X^{2} = \frac{45}{5}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Divide $45$ por $5$ .

$X^{2} = 9$

Paso 4.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$X = \pm \sqrt{9}$

Paso 4.5

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 4.5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$X = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 4.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$X = \pm 3$

Paso 4.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$X = 3$

Paso 4.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$X = - 3$

Paso 4.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$X = 3, - 3$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{2}{3 - X} + \frac{3}{X + 3} = \frac{6 X}{X^{2} - 9}$ sea verdadera.

$No hay solución$