Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x^{2} - 27}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 27$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 27}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 \cdot - 9$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9)}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{3 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{3 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{3 (x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x + 3$ y ${(x + 3)}^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x + 3$ de $3 (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 3) (3 (x - 3))}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $x + 3$ de ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (3 (x - 3))}{(x + 3) (x + 3)} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3) (3 (x - 3))}{(x + 3) (x + 3)} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} - \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.4

Factoriza $2$ de $2 x - 4$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} - \frac{2 (x) - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} - \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} - \frac{2 (x - 2)}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1.5

Factoriza $x^{2} + x - 6$ con el método AC.

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Paso 1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} - \frac{2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 3)}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} - \frac{2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 3)}$

Paso 1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} - \frac{2}{x + 3}$

Paso 2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (x - 3) - 2}{x + 3}$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 3 - 2}{x + 3}$

Paso 3.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 - 2}{x + 3}$

Paso 4

Resta $2$ de $- 9$ .

$\frac{3 x - 11}{x + 3}$