Álgebra Ejemplos

$\frac{k^{10} + 9 k^{5} + 18}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $k^{10}$ como ${(k^{5})}^{2}$ .

$\frac{{(k^{5})}^{2} + 9 k^{5} + 18}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Paso 1.2

Sea $u = k^{5}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $k^{5}$ .

$\frac{u^{2} + 9 u + 18}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} + 9 u + 18$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $18$ y cuya suma es $9$ .

$3, 6$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(u + 3) (u + 6)}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $k^{5}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $k^{10}$ como ${(k^{5})}^{2}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{{(k^{5})}^{2} + 6 k^{5} + 9}$

Paso 2.2

Sea $u = k^{5}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $k^{5}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{u^{2} + 6 u + 9}$

Paso 2.3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{u^{2} + 6 u + 3^{2}}$

Paso 2.3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Paso 2.3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2}}$

Paso 2.3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 3$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{{(u + 3)}^{2}}$

Paso 2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $k^{5}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{{(k^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1

Factoriza $k^{5} + 3$ de ${(k^{5} + 3)}^{2}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{(k^{5} + 3) (k^{5} + 3)}$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{(k^{5} + 3) (k^{5} + 3)}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{k^{5} + 6}{k^{5} + 3}$