Álgebra Ejemplos

${(7^{5 - x})}^{6 - x} = 49$

Paso 1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7^{(5 - x) (6 - x)} = 49$

Paso 2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$7^{(5 - x) (6 - x)} = 7^{2}$

Paso 3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$(5 - x) (6 - x) = 2$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Simplifica $(5 - x) (6 - x)$ .

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Paso 4.1.1

Expande $(5 - x) (6 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (6 - x) - x (6 - x) = 2$

Paso 4.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 6 + 5 (- x) - x (6 - x) = 2$

Paso 4.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 6 + 5 (- x) - x \cdot 6 - x (- x) = 2$

Paso 4.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica $5$ por $6$ .

$30 + 5 (- x) - x \cdot 6 - x (- x) = 2$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$30 - 5 x - x \cdot 6 - x (- x) = 2$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$30 - 5 x - 6 x - x (- x) = 2$

Paso 4.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$30 - 5 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x = 2$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$30 - 5 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) = 2$

Paso 4.1.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$30 - 5 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2} = 2$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$30 - 5 x - 6 x + 1 x^{2} = 2$

Paso 4.1.2.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$30 - 5 x - 6 x + x^{2} = 2$

Paso 4.1.2.2

Resta $6 x$ de $- 5 x$ .

$30 - 11 x + x^{2} = 2$

Paso 4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$30 - 11 x + x^{2} - 2 = 0$

Paso 4.3

Resta $2$ de $30$ .

$- 11 x + x^{2} + 28 = 0$

Paso 4.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$- 11 u + u^{2} + 28 = 0$

Paso 4.4.2

Factoriza $- 11 u + u^{2} + 28$ con el método AC.

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Paso 4.4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $28$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 7, - 4$

Paso 4.4.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 7) (u - 4) = 0$

Paso 4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x - 7) (x - 4) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 4.6

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 4.6.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 4.7

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.7.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 4.7.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 7) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 7, 4$