Álgebra Ejemplos

$y = \sqrt{x^{2} - 4}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{y^{2} - 4}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{y^{2} - 4} = x$ .

$\sqrt{y^{2} - 4} = x$

Paso 2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y^{2} - 4}}^{2} = x^{2}$

Paso 2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y^{2} - 4}$ como ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y^{2} - 4)}^{1} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Simplifica.

$y^{2} - 4 = x^{2}$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = x^{2} + 4$

Paso 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 4}$

Paso 2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.4.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

Paso 2.4.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

Paso 2.4.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

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Paso 4.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ y $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ y compáralos.

Paso 4.2

Obtén el rango de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

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Paso 4.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Paso 4.3

Obtén el dominio de $\sqrt{x^{2} + 4}$ .

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Paso 4.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} + 4}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} + 4 \geq 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $x$

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Paso 4.3.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \geq - 4$

Paso 4.3.2.2

Como el lado izquierdo tiene una potencia par, siempre es positivo para todos los números reales.

Todos los números reales

Paso 4.3.3

El dominio son todos números reales.

$(- \infty, \infty)$

Paso 4.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ no es igual al rango de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ no es una inversa de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

No hay una inversa

Paso 5