Álgebra Ejemplos

$x \sqrt{x} = \frac{1}{8}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(x \sqrt{x})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.4

Suma $2$ y $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Paso 2.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{3} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(\frac{1}{8})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{8}$ .

$x^{3} = \frac{1^{2}}{8^{2}}$

Paso 2.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{3} = \frac{1}{8^{2}}$

Paso 2.3.1.3

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x^{3} = \frac{1}{64}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $\frac{1}{64}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - \frac{1}{64} = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{64}$ como ${(\frac{1}{4})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

Paso 3.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = \frac{1}{4}$ .

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + x (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Paso 3.2.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

Paso 3.2.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

Paso 3.2.3.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - \frac{1}{4} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Paso 3.4

Establece $x - \frac{1}{4}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x - \frac{1}{4}$ igual a $0$ .

$x - \frac{1}{4} = 0$

Paso 3.4.2

Suma $\frac{1}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{1}{4}$

Paso 3.5

Establece $x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16}$ igual a $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Multiplica por el mínimo común denominador $16$ , luego simplifica.

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Paso 3.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x^{2} + 16 (\frac{x}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica.

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Paso 3.5.2.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.2.1.2.1.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$16 x^{2} + 4 (4) (\frac{x}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Paso 3.5.2.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$16 x^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{x}{4})) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Paso 3.5.2.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$16 x^{2} + 4 x + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Paso 3.5.2.1.2.2

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 3.5.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$16 x^{2} + 4 x + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Paso 3.5.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Paso 3.5.2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5.2.3

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = 4$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4

Simplifica.

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Paso 3.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Paso 3.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.5.2.4.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 3.5.2.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Paso 3.5.2.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16}) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$