Álgebra Ejemplos

$2^{2 + x} \cdot 3^{x} = \frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (2^{2 + x} \cdot 3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Paso 2

Reescribe $\ln (2^{2 + x} \cdot 3^{x})$ como $\ln (2^{2 + x}) + \ln (3^{x})$ .

$\ln (2^{2 + x}) + \ln (3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Paso 3

Expande $\ln (2^{2 + x})$ ; para ello, mueve $2 + x$ fuera del logaritmo.

$(2 + x) \ln (2) + \ln (3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Paso 4

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Paso 5

Reescribe $\ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$ como $\ln (\frac{2}{3}) + \ln (6^{3 x - 1})$ .

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (\frac{2}{3}) + \ln (6^{3 x - 1})$

Paso 6

Reescribe $\ln (\frac{2}{3})$ como $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + \ln (6^{3 x - 1})$

Paso 7

Expande $\ln (6^{3 x - 1})$ ; para ello, mueve $3 x - 1$ fuera del logaritmo.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Paso 8

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 8.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \ln (2) + x \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Paso 8.1.2

Mueve $2 \ln (2)$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + (3 x - 1) \ln (6)$

Paso 8.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + 3 x \ln (6) - 1 \ln (6)$

Paso 8.2.2.2

Reescribe $- 1 \ln (6)$ como $- \ln (6)$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + 3 x \ln (6) - \ln (6)$

Paso 8.2.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{\frac{2}{3}}{6})$

Paso 8.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6})$

Paso 8.2.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (3)})$

Paso 8.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3})$

Paso 8.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 8.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{3 \cdot 3})$

Paso 8.2.4.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Paso 8.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Simplifica $2 \ln (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (2^{2}) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Paso 8.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Paso 8.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1.1

Simplifica $3 \ln (6)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = x \ln (6^{3}) + \ln (\frac{1}{9})$

Paso 8.4.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = x \ln (216) + \ln (\frac{1}{9})$

Paso 8.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) - x \ln (216) - \ln (\frac{1}{9}) = 0$

Paso 8.6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (\frac{4}{\frac{1}{9}}) = 0$

Paso 8.7

Simplifica cada término.

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Paso 8.7.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (4 \cdot 9) = 0$

Paso 8.7.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (36) = 0$

Paso 8.8

Resta $\ln (36)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Paso 8.9

Factoriza $x$ de $x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216)$ .

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Paso 8.9.1

Factoriza $x$ de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + x \ln (3) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Paso 8.9.2

Factoriza $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Paso 8.9.3

Factoriza $x$ de $- x \ln (216)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Paso 8.9.4

Factoriza $x$ de $x (\ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Paso 8.9.5

Factoriza $x$ de $x (\ln (2) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (216))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3) - 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Paso 8.10

Reescribe $- 1 \ln (216)$ como $- \ln (216)$ .

$x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$

Paso 8.11

Divide cada término en $x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$ por $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ y simplifica.

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Paso 8.11.1

Divide cada término en $x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$ por $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216))}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)} = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Paso 8.11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.11.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ .

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Paso 8.11.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216))}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)} = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Paso 8.11.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Paso 8.11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.11.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Forma decimal:

$x = 1$