Álgebra Ejemplos

${(\frac{a^{3} b^{4}}{a^{2} b})}^{6} = a^{x} b^{y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{3} b^{4}}{a^{2} b})}^{6}$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{3} b^{4}}{a^{2} b})}^{6}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reduce la expresión $\frac{a^{3} b^{4}}{a^{2} b}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1.1

Factoriza $a^{2}$ de $a^{3} b^{4}$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{2} (a b^{4})}{a^{2} b})}^{6}$

Paso 2.1.2

Factoriza $a^{2}$ de $a^{2} b$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{2} (a b^{4})}{a^{2} (b)})}^{6}$

Paso 2.1.3

Cancela el factor común.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{2} (a b^{4})}{a^{2} b})}^{6}$

Paso 2.1.4

Reescribe la expresión.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a b^{4}}{b})}^{6}$

Paso 2.2

Reduce la expresión $\frac{a b^{4}}{b}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Factoriza $b$ de $a b^{4}$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{b (a b^{3})}{b})}^{6}$

Paso 2.2.2

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{b (a b^{3})}{b^{1}})}^{6}$

Paso 2.2.3

Factoriza $b$ de $b^{1}$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{b (a b^{3})}{b \cdot 1})}^{6}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{b (a b^{3})}{b \cdot 1})}^{6}$

Paso 2.2.5

Reescribe la expresión.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a b^{3}}{1})}^{6}$

Paso 2.3

Divide $a b^{3}$ por $1$ .

$a^{x} b^{y} = {(a b^{3})}^{6}$

Paso 3

Divide cada término en $a^{x} b^{y} = {(a b^{3})}^{6}$ por $b^{y}$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $a^{x} b^{y} = {(a b^{3})}^{6}$ por $b^{y}$ .

$\frac{a^{x} b^{y}}{b^{y}} = \frac{{(a b^{3})}^{6}}{b^{y}}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $b^{y}$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a^{x} b^{y}}{b^{y}} = \frac{{(a b^{3})}^{6}}{b^{y}}$

Paso 3.2.1.2

Divide $a^{x}$ por $1$ .

$a^{x} = \frac{{(a b^{3})}^{6}}{b^{y}}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla del producto a $a b^{3}$ .

$a^{x} = \frac{a^{6} {(b^{3})}^{6}}{b^{y}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(b^{3})}^{6}$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{x} = \frac{a^{6} b^{3 \cdot 6}}{b^{y}}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$a^{x} = \frac{a^{6} b^{18}}{b^{y}}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $b^{18}$ y $b^{y}$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $b^{y}$ de $a^{6} b^{18}$ .

$a^{x} = \frac{b^{y} (a^{6} b^{18 - y})}{b^{y}}$

Paso 3.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$a^{x} = \frac{b^{y} (a^{6} b^{18 - y})}{b^{y} \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$a^{x} = \frac{b^{y} (a^{6} b^{18 - y})}{b^{y} \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$a^{x} = \frac{a^{6} b^{18 - y}}{1}$

Paso 3.3.2.2.4

Divide $a^{6} b^{18 - y}$ por $1$ .

$a^{x} = a^{6} b^{18 - y}$

Paso 4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (a^{x}) = \ln (a^{6} b^{18 - y})$

Paso 5

Expande $\ln (a^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (a) = \ln (a^{6} b^{18 - y})$

Paso 6

Expande el lado derecho.

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Paso 6.1

Reescribe $\ln (a^{6} b^{18 - y})$ como $\ln (a^{6}) + \ln (b^{18 - y})$ .

$x \ln (a) = \ln (a^{6}) + \ln (b^{18 - y})$

Paso 6.2

Expande $\ln (a^{6})$ ; para ello, mueve $6$ fuera del logaritmo.

$x \ln (a) = 6 \ln (a) + \ln (b^{18 - y})$

Paso 6.3

Expande $\ln (b^{18 - y})$ ; para ello, mueve $18 - y$ fuera del logaritmo.

$x \ln (a) = 6 \ln (a) + (18 - y) \ln (b)$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (a) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b) - y \ln (b)$

Paso 8

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (a) - 6 \ln (a) - 18 \ln (b) + y \ln (b) = 0$

Paso 9

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1

Suma $6 \ln (a)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (a) - 18 \ln (b) + y \ln (b) = 6 \ln (a)$

Paso 9.2

Suma $18 \ln (b)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (a) + y \ln (b) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b)$

Paso 9.3

Resta $y \ln (b)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (a) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b) - y \ln (b)$

Paso 10

Divide cada término en $x \ln (a) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b) - y \ln (b)$ por $\ln (a)$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $x \ln (a) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b) - y \ln (b)$ por $\ln (a)$ .

$\frac{x \ln (a)}{\ln (a)} = \frac{6 \ln (a)}{\ln (a)} + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $\ln (a)$ .

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (a)}{\ln (a)} = \frac{6 \ln (a)}{\ln (a)} + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Paso 10.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{6 \ln (a)}{\ln (a)} + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.1

Cancela el factor común de $\ln (a)$ .

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Paso 10.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{6 \ln (a)}{\ln (a)} + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Paso 10.3.1.1.2

Divide $6$ por $1$ .

$x = 6 + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Paso 10.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 6 + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} - \frac{y \ln (b)}{\ln (a)}$