Álgebra Ejemplos

$\sin (x) + 1 = \cos (x)$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = \cos (x) - 1$

Paso 2

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) = {(\cos (x) - 1)}^{2}$

Paso 3

Simplifica ${(\cos (x) - 1)}^{2}$ .

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Paso 3.1

Reescribe ${(\cos (x) - 1)}^{2}$ como $(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ .

$\sin^{2} (x) = (\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$

Paso 3.2

Expande $(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin^{2} (x) = \cos (x) (\cos (x) - 1) - 1 (\cos (x) - 1)$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin^{2} (x) = \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 (\cos (x) - 1)$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin^{2} (x) = \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (x) = \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (x) = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin^{2} (x) = {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cdot - 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) - 1 \cdot \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.3

Reescribe $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Reescribe $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) - \cos (x) - \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) - \cos (x) - \cos (x) + 1$

Paso 3.3.2

Resta $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 1$

Paso 4

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $\cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = - 2 \cos (x) + 1$

Paso 4.2

Suma $2 \cos (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 1$

Paso 4.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 5

Simplifica $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1$ .

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Paso 5.1

Mueve $- 1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 5.2

Reordena $\sin^{2} (x)$ y $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 5.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 5.4

Factoriza $- 1$ de $\sin^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 5.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ como $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- (1 - \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 5.7

Aplica la identidad pitagórica.

$- \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 5.8

Resta $\cos^{2} (x)$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1.1

Sea $u = \cos (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (x)$ .

$- 2 u^{2} + 2 u = 0$

Paso 6.1.2

Factoriza $2 u$ de $- 2 u^{2} + 2 u$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $2 u$ de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (- u) + 2 u = 0$

Paso 6.1.2.2

Factoriza $2 u$ de $2 u$ .

$2 u (- u) + 2 u (1) = 0$

Paso 6.1.2.3

Factoriza $2 u$ de $2 u (- u) + 2 u (1)$ .

$2 u (- u + 1) = 0$

Paso 6.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$

Paso 6.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \cos (x) + 1 = 0$

Paso 6.3

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 6.3.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6.3.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 6.3.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.3.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.3.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 6.3.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.3.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.3.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 6.3.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.3.2.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 6.3.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.3.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.3.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.3.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.3.2.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6.4

Establece $- \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $- \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $- \cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \cos (x) = - 1$

Paso 6.4.2.2

Divide cada término en $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.2.1

Divide cada término en $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.4.2.2.2.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Paso 6.4.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 6.4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.4.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 6.4.2.6

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 6.4.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 6.4.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.4.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.4.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.4.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.4.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las respuestas.

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Paso 7.1

Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.2

Consolida $2 π n$ y $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\sin (x) + 1 = \cos (x)$ sea verdadera.

$x = 0, 4.71238898, 6.2831853, 10.99557428, 12.56637061, 17.27875959, 18.84955592, 23.5619449, 25.13274122, 31.41592653, 37.69911184, 43.98229715$ , para cualquier número entero $n$