Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x - 12}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1

Simplifica ambos lados.

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Paso 1.1

Cancela el factor común de $3 x - 12$ y $3$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 12}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.1.2

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$\frac{3 (x) + 3 \cdot - 4}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.1.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (- 4)$ .

$\frac{3 (x - 4)}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x - 4)}{3 (x)} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x - 4)}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{{(2 x)}^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{{(2 x)}^{2} - 3^{2}}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 3$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ y cuya suma es $b = - 16$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $- 16$ de $- 16 x$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 16 (x) + 15}$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $- 16$ como $- 6$ más $- 10$

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} + (- 6 - 10) x + 15}$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 6 x - 10 x + 15}$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(4 x^{2} - 6 x) - 10 x + 15}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)}$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $2 x - 3$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{2 x + 3}{2 x - 5}$

Paso 2

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$(x - 4) (2 x - 5) = x (2 x + 3)$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.1

Simplifica $(x - 4) (2 x - 5)$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x - 4) (2 x - 5) = x (2 x + 3)$

Paso 3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x - 4) (2 x - 5) = x (2 x + 3)$

Paso 3.1.3

Expande $(x - 4) (2 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5) = x (2 x + 3)$

Paso 3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x - 5) = x (2 x + 3)$

Paso 3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = x (2 x + 3)$

Paso 3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x \cdot x + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = x (2 x + 3)$

Paso 3.1.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = x (2 x + 3)$

Paso 3.1.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = x (2 x + 3)$

Paso 3.1.4.1.3

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{2} - 5 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = x (2 x + 3)$

Paso 3.1.4.1.4

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$2 x^{2} - 5 x - 8 x - 4 \cdot - 5 = x (2 x + 3)$

Paso 3.1.4.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$2 x^{2} - 5 x - 8 x + 20 = x (2 x + 3)$

Paso 3.1.4.2

Resta $8 x$ de $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = x (2 x + 3)$

Paso 3.2

Simplifica $x (2 x + 3)$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = x (2 x) + x \cdot 3$

Paso 3.2.1.2

Reordena.

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Paso 3.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x \cdot x + x \cdot 3$

Paso 3.2.1.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x \cdot x + 3 \cdot x$

Paso 3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1

Mueve $x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 (x \cdot x) + 3 \cdot x$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x^{2} + 3 \cdot x$

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x^{2} + 3 x$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} = 3 x$

Paso 3.3.2

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Paso 3.3.3

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} - 3 x$ .

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Paso 3.3.3.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 13 x + 20 + 0 - 3 x = 0$

Paso 3.3.3.2

Suma $- 13 x + 20$ y $0$ .

$- 13 x + 20 - 3 x = 0$

Paso 3.3.4

Resta $3 x$ de $- 13 x$ .

$- 16 x + 20 = 0$

Paso 3.4

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$- 16 x = - 20$

Paso 3.5

Divide cada término en $- 16 x = - 20$ por $- 16$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $- 16 x = - 20$ por $- 16$ .

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 20}{- 16}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $- 16$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 20}{- 16}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 20}{- 16}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $- 20$ y $- 16$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 20$ .

$x = \frac{- 4 (5)}{- 16}$

Paso 3.5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.3.1.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 16$ .

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 4}$

Paso 3.5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 4}$

Paso 3.5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5}{4}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{5}{4}$

Forma decimal:

$x = 1.25$

Forma de número mixto:

$x = 1 \frac{1}{4}$