Álgebra Ejemplos

$\frac{3 z^{11} + 3 z^{5}}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Factoriza $3 z^{5}$ de $3 z^{11} + 3 z^{5}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $3 z^{5}$ de $3 z^{11}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5}}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Paso 1.1.2

Factoriza $3 z^{5}$ de $3 z^{5}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5} (1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Paso 1.1.3

Factoriza $3 z^{5}$ de $3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5} (1)$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{6} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Paso 1.2

Reescribe $z^{6}$ como ${(z^{2})}^{3}$ .

$\frac{3 z^{5} ({(z^{2})}^{3} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Paso 1.3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{3 z^{5} ({(z^{2})}^{3} + 1^{3})}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Paso 1.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = z^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) ({(z^{2})}^{2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica los exponentes en ${(z^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{2 \cdot 2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Paso 1.5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $z^{12}$ como ${(z^{6})}^{2}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{{(z^{6})}^{2} + 4 z^{6} + 3}$

Paso 2.2

Sea $u = z^{6}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $z^{6}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{u^{2} + 4 u + 3}$

Paso 2.3

Factoriza $u^{2} + 4 u + 3$ con el método AC.

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Paso 2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 2.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(u + 1) (u + 3)}$

Paso 2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $z^{6}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{6} + 1) (z^{6} + 3)}$

Paso 2.5

Reescribe $z^{6}$ como ${(z^{2})}^{3}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{({(z^{2})}^{3} + 1) (z^{6} + 3)}$

Paso 2.6

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{({(z^{2})}^{3} + 1^{3}) (z^{6} + 3)}$

Paso 2.7

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = z^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) ({(z^{2})}^{2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Multiplica los exponentes en ${(z^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.8.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{2 \cdot 2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Paso 2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Paso 2.8.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Paso 3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $z^{2} + 1$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 z^{5} (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $z^{4} - z^{2} + 1$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 z^{5} (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 z^{5}}{z^{6} + 3}$