Álgebra Ejemplos

$\frac{4}{x^{3}} - \frac{2 x - 1}{3 x}$

Paso 1

Para escribir $\frac{4}{x^{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x - 1}{3 x}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{2 x - 1}{3 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 x^{3}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{4}{x^{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{2 x - 1}{3 x}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x \cdot x^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 (x^{2} x)}$

Paso 3.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 (x^{2} x^{1})}$

Paso 3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{2 + 1}}$

Paso 3.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 3.4

Reordena los factores de $x^{3} \cdot 3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3 x^{3}} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 \cdot 3 - (2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12 - (2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 + (- (2 x) - - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{12 + (- 2 x - - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 5.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{12 + (- 2 x + 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 - 2 x \cdot x^{2} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 5.6

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{12 - 2 (x^{2} x) + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 5.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 - 2 (x^{2} x^{1}) + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 5.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 - 2 x^{2 + 1} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 5.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{12 - 2 x^{3} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 5.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{12 - 2 x^{3} + x^{2}}{3 x^{3}}$

Paso 5.8

Reordena los términos.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 12}{3 x^{3}}$

Paso 5.9

Factoriza $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 5.9.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 5.9.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Paso 5.9.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 5.9.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$- 2 \cdot 2^{3} + 2^{2} + 12$

Paso 5.9.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 2^{2} + 12$

Paso 5.9.3.3

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$- 16 + 2^{2} + 12$

Paso 5.9.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 16 + 4 + 12$

Paso 5.9.3.5

Suma $- 16$ y $4$ .

$- 12 + 12$

Paso 5.9.3.6

Suma $- 12$ y $12$ .

$0$

Paso 5.9.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 12}{x - 2}$

Paso 5.9.5

Divide $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ por $x - 2$ .

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Paso 5.9.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$12$

Paso 5.9.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$

Paso 5.9.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Paso 5.9.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Paso 5.9.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Paso 5.9.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 5.9.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 5.9.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 5.9.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x^{2} + 6 x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 5.9.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Paso 5.9.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Paso 5.9.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Paso 5.9.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Paso 5.9.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x + 12$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Paso 5.9.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Paso 5.9.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- 2 x^{2} - 3 x - 6$

Paso 5.9.6

Escribe $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ como un conjunto de factores.

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} - 3 x - 6)}{3 x^{3}}$

Paso 6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2}) - 3 x - 6)}{3 x^{3}}$

Paso 6.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2}) - (3 x) - 6)}{3 x^{3}}$

Paso 6.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2}) - (3 x)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x) - 6)}{3 x^{3}}$

Paso 6.4

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (6))}{3 x^{3}}$

Paso 6.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (6)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x + 6))}{3 x^{3}}$

Paso 6.6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.6.1

Reescribe $- (2 x^{2} + 3 x + 6)$ como $- 1 (2 x^{2} + 3 x + 6)$ .

$\frac{(x - 2) (- 1 (2 x^{2} + 3 x + 6))}{3 x^{3}}$

Paso 6.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x - 2) (2 x^{2} + 3 x + 6)}{3 x^{3}}$