Álgebra Ejemplos

$\ln (x^{2} - 5 x) - \ln (x^{2} - 25) = 3$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} - 5 x}{x^{2} - 25}) = 3$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x \cdot x - 5 x}{x^{2} - 25}) = 3$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$\ln (\frac{x \cdot x + x \cdot - 5}{x^{2} - 25}) = 3$

Paso 1.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$\ln (\frac{x (x - 5)}{x^{2} - 25}) = 3$

Paso 1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\ln (\frac{x (x - 5)}{x^{2} - 5^{2}}) = 3$

Paso 1.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\ln (\frac{x (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}) = 3$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{x (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}) = 3$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{x}{x + 5}) = 3$

Paso 2

Reescribe $\ln (\frac{x}{x + 5}) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = \frac{x}{x + 5}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x = e^{3} (x + 5)$

Paso 4

Simplifica $e^{3} (x + 5)$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = e^{3} x + e^{3} \cdot 5$

Paso 4.2

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{3}$ .

$x = e^{3} x + 5 e^{3}$

Paso 5

Resta $e^{3} x$ de ambos lados de la ecuación.

$x - e^{3} x = 5 e^{3}$

Paso 6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $x - e^{3} x$ .

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Paso 6.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x - e^{3} x = 5 e^{3}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{3} x = 5 e^{3}$

Paso 6.1.3

Factoriza $x$ de $- e^{3} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{3}) = 5 e^{3}$

Paso 6.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- e^{3})$ .

$x (1 - e^{3}) = 5 e^{3}$

Paso 6.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x (1^{3} - e^{3}) = 5 e^{3}$

Paso 6.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = e$ .

$x ((1 - e) (1^{2} + 1 e + e^{2})) = 5 e^{3}$

Paso 6.4

Factoriza.

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Paso 6.4.1

Simplifica.

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Paso 6.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x ((1 - e) (1 + 1 e + e^{2})) = 5 e^{3}$

Paso 6.4.1.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$x ((1 - e) (1 + e + e^{2})) = 5 e^{3}$

Paso 6.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (1 - e) (1 + e + e^{2}) = 5 e^{3}$

Paso 7

Divide cada término en $x (1 - e) (1 + e + e^{2}) = 5 e^{3}$ por $1 - e^{3}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x (1 - e) (1 + e + e^{2}) = 5 e^{3}$ por $1 - e^{3}$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{1 - e^{3}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{1^{3} - e^{3}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = e$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1^{2} + 1 e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Paso 7.2.1.3

Simplifica.

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Paso 7.2.1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1 + 1 e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Paso 7.2.1.3.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1 + e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Paso 7.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $1 - e$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1 + e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Paso 7.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (1 + e + e^{2})}{1 + e + e^{2}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común de $1 + e + e^{2}$ .

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 + e + e^{2})}{1 + e + e^{2}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Paso 7.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{1^{3} - e^{3}}$

Paso 7.3.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = e$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1^{2} + 1 e + e^{2})}$

Paso 7.3.1.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1 + 1 e + e^{2})}$

Paso 7.3.1.3.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1 + e + e^{2})}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1 + e + e^{2})}$

Forma decimal:

$x = - 5.26197848 \dots$