Álgebra Ejemplos

$\frac{\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4}}{\frac{5}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4}}{\frac{5}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}}$ por $\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)}$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)} \cdot \frac{\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4}}{\frac{5}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}}$

Paso 1.2

Combinar.

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (\frac{5}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2})}$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{2}{x - 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{3}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Paso 3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x - 2) ((x^{2} - 4) (x + 2)) \frac{2}{x - 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{3}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{3}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{2} - 4$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{x^{2} - 4}$ al numerador.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{- 3}{x^{2} - 4}}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Paso 3.2.2

Factoriza $x^{2} - 4$ de $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{- 3}{x^{2} - 4}}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{- 3}{x^{2} - 4}}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x^{2} - 4$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x^{2} - 4$ de $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{x + 2}$ al numerador.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{- 2}{x + 2}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $x + 2$ de $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4)) \frac{- 2}{x + 2}}$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4)) \frac{- 2}{x + 2}}$

Paso 3.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Factoriza $x + 2$ de $(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x + 2$ de $(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2$ .

$\frac{(x + 2) ((x^{2} - 4) \cdot 2) + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.1.2

Factoriza $x + 2$ de $(x - 2) (x + 2) \cdot - 3$ .

$\frac{(x + 2) ((x^{2} - 4) \cdot 2) + (x + 2) ((x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.1.3

Factoriza $x + 2$ de $(x + 2) ((x^{2} - 4) \cdot 2) + (x + 2) ((x - 2) \cdot - 3)$ .

$\frac{(x + 2) ((x^{2} - 4) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 2) (x^{2} \cdot 2 - 4 \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot x^{2} - 4 \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot x^{2} - 8 + (x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 8 + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.6

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 8 - 3 \cdot x - 2 \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.7

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 8 - 3 \cdot x + 6)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.8

Suma $- 8$ y $6$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 3 x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.9

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.9.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 4.9.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 3 (x) - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.9.1.2

Reescribe $- 3$ como $1$ más $- 4$

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.9.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} + x - 4 x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.9.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.9.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x + 2) ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.9.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x + 2) (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1))}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 4.9.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$\frac{(x + 2) ((2 x + 1) (x - 2))}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) (x + 2) \cdot 5$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((x + 2) \cdot 5) + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Paso 5.1.2

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((x + 2) \cdot 5) + (x - 2) ((x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Paso 5.1.3

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) ((x + 2) \cdot 5) + (x - 2) ((x^{2} - 4) \cdot - 2)$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((x + 2) \cdot 5 + (x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (x \cdot 5 + 2 \cdot 5 + (x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Paso 5.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 \cdot x + 2 \cdot 5 + (x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Paso 5.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 \cdot x + 10 + (x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 x + 10 + x^{2} \cdot - 2 - 4 \cdot - 2)}$

Paso 5.6

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 x + 10 - 2 \cdot x^{2} - 4 \cdot - 2)}$

Paso 5.7

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 x + 10 - 2 \cdot x^{2} + 8)}$

Paso 5.8

Suma $10$ y $8$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 x - 2 x^{2} + 18)}$

Paso 5.9

Reordena los términos.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- 2 x^{2} + 5 x + 18)}$

Paso 5.10

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.10.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 18 = - 36$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 5.10.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- 2 x^{2} + 5 (x) + 18)}$

Paso 5.10.1.2

Reescribe $5$ como $- 4$ más $9$

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- 2 x^{2} + (- 4 + 9) x + 18)}$

Paso 5.10.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- 2 x^{2} - 4 x + 9 x + 18)}$

Paso 5.10.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.10.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((- 2 x^{2} - 4 x) + 9 x + 18)}$

Paso 5.10.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (2 x (- x - 2) - 9 (- x - 2))}$

Paso 5.10.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((- x - 2) (2 x - 9))}$

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- x - 2) (2 x - 9)}$

Paso 6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- x - 2) (2 x - 9)}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x + 2$ y $- x - 2$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) + 2) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Paso 6.2.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 2)) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Paso 6.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- x - 2) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Paso 6.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- x - 2) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Paso 6.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{2 x - 9}$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x + 1}{2 x - 9}$