Álgebra Ejemplos

$f (x) < | 4 x + 1 | - 3$

Paso 1

Resta $f (x)$ de ambos lados de la desigualdad.

$0 < | 4 x + 1 | - 3 - f (x)$

Paso 2

Obtén la pendiente y la intersección con y para la línea de límite.

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Paso 2.1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 2.1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 2.1.2

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$| 4 x + 1 | - 3 - f (x) > 0$

Paso 2.1.3

Escribe $| 4 x + 1 | - 3 - f (x) > 0$ como una función definida por partes.

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Paso 2.1.3.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$4 x + 1 \geq 0$

Paso 2.1.3.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 2.1.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$4 x \geq - 1$

Paso 2.1.3.2.2

Divide cada término en $4 x \geq - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.1.3.2.2.1

Divide cada término en $4 x \geq - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Paso 2.1.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Paso 2.1.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Paso 2.1.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Paso 2.1.3.3

En la parte donde $4 x + 1$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$4 x + 1 - 3 - f (x) > 0$

Paso 2.1.3.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$4 x + 1 < 0$

Paso 2.1.3.5

Resuelve la desigualdad.

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Paso 2.1.3.5.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$4 x < - 1$

Paso 2.1.3.5.2

Divide cada término en $4 x < - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.1.3.5.2.1

Divide cada término en $4 x < - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 1}{4}$

Paso 2.1.3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 1}{4}$

Paso 2.1.3.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{- 1}{4}$

Paso 2.1.3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x < - \frac{1}{4}$

Paso 2.1.3.6

En la parte donde $4 x + 1$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- (4 x + 1) - 3 - f (x) > 0$

Paso 2.1.3.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} 4 x + 1 - 3 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - (4 x + 1) - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Paso 2.1.3.8

Resta $3$ de $1$ .

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - (4 x + 1) - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Paso 2.1.3.9

Simplifica $- (4 x + 1) - 3 - f (x) > 0$ .

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Paso 2.1.3.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.9.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - (4 x) - 1 \cdot 1 - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Paso 2.1.3.9.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - 4 x - 1 \cdot 1 - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Paso 2.1.3.9.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - 4 x - 1 - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Paso 2.1.3.9.2

Resta $3$ de $- 1$ .

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - 4 x - 4 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Paso 2.1.4

Resuelve $4 x - 2 - f (x) > 0$ cuando $x \geq - \frac{1}{4}$ .

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Paso 2.1.4.1

Resuelve $4 x - 2 - f (x) > 0$ en $x$ .

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Paso 2.1.4.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.1.4.1.1.1

Suma $2$ a ambos lados de la desigualdad.

$4 x - f (x) > 2$

Paso 2.1.4.1.1.2

Suma $f (x)$ a ambos lados de la desigualdad.

$4 x > 2 + f (x)$

Paso 2.1.4.1.2

Divide cada término en $4 x > 2 + f (x)$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.1.4.1.2.1

Divide cada término en $4 x > 2 + f (x)$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{2}{4} + \frac{f (x)}{4}$

Paso 2.1.4.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.4.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.4.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} > \frac{2}{4} + \frac{f (x)}{4}$

Paso 2.1.4.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{2}{4} + \frac{f (x)}{4}$

Paso 2.1.4.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.4.1.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.1.4.1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x > \frac{2 (1)}{4} + \frac{f (x)}{4}$

Paso 2.1.4.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x > \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{f (x)}{4}$

Paso 2.1.4.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x > \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{f (x)}{4}$

Paso 2.1.4.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x > \frac{1}{2} + \frac{f (x)}{4}$

Paso 2.1.4.2

Obtén la intersección de $x > \frac{1}{2} + \frac{f (x)}{4}$ y $x \geq - \frac{1}{4}$ .

$x > \frac{1}{2} + \frac{f (x)}{4}$ y $x \geq - \frac{1}{4}$

Paso 2.1.5

Resuelve $- 4 x - 4 - f (x) > 0$ cuando $x < - \frac{1}{4}$ .

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Paso 2.1.5.1

Resuelve $- 4 x - 4 - f (x) > 0$ en $x$ .

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Paso 2.1.5.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.1.5.1.1.1

Suma $4$ a ambos lados de la desigualdad.

$- 4 x - f (x) > 4$

Paso 2.1.5.1.1.2

Suma $f (x)$ a ambos lados de la desigualdad.

$- 4 x > 4 + f (x)$

Paso 2.1.5.1.2

Divide cada término en $- 4 x > 4 + f (x)$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 2.1.5.1.2.1

Divide cada término de $- 4 x > 4 + f (x)$ por $- 4$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{4}{- 4} + \frac{f (x)}{- 4}$

Paso 2.1.5.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.5.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 2.1.5.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{4}{- 4} + \frac{f (x)}{- 4}$

Paso 2.1.5.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{4}{- 4} + \frac{f (x)}{- 4}$

Paso 2.1.5.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.5.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.5.1.2.3.1.1

Divide $4$ por $- 4$ .

$x < - 1 + \frac{f (x)}{- 4}$

Paso 2.1.5.1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x < - 1 - \frac{f (x)}{4}$

Paso 2.1.5.2

Obtén la intersección de $x < - 1 - \frac{f (x)}{4}$ y $x < - \frac{1}{4}$ .

$x < N o (Min i m u m)$

Paso 2.1.6

Obtén la unión de las soluciones.

$x > N o Max i m u m$ o $x < N o Min i m u m$

Paso 2.2

La ecuación no es lineal, por lo que no existe pendiente constante.

No es lineal

Paso 3

Grafica una línea discontinua, luego sombrea el área debajo de la línea de límite, ya que $y$ es menor que $| 4 x + 1 | - 3 - f (x)$ .

$0 < | 4 x + 1 | - 3 - f (x)$

Paso 4