Álgebra Ejemplos

$\frac{5 x^{8} - 20 x^{4}}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Factoriza $5 x^{4}$ de $5 x^{8} - 20 x^{4}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $5 x^{4}$ de $5 x^{8}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{4}) - 20 x^{4}}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Paso 1.1.2

Factoriza $5 x^{4}$ de $- 20 x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (- 4)}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $5 x^{4}$ de $5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (- 4)$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{4} - 4)}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Paso 1.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{5 x^{4} ({(x^{2})}^{2} - 4)}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Paso 1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{5 x^{4} ({(x^{2})}^{2} - 2^{2})}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Paso 1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 2$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Factoriza $5 x^{4}$ de $5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $5 x^{4}$ de $5 x^{8}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (x^{4}) + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Paso 2.1.2

Factoriza $5 x^{4}$ de $20 x^{6}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 20 x^{4}}$

Paso 2.1.3

Factoriza $5 x^{4}$ de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 5 x^{4} (4)}$

Paso 2.1.4

Factoriza $5 x^{4}$ de $5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2})$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2}) + 5 x^{4} (4)}$

Paso 2.1.5

Factoriza $5 x^{4}$ de $5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2}) + 5 x^{4} (4)$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)}$

Paso 2.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} + 4)}$

Paso 2.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (u^{2} + 4 u + 4)}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (u^{2} + 4 u + 2^{2})}$

Paso 2.4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Paso 2.4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2})}$

Paso 2.4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 2$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} {(u + 2)}^{2}}$

Paso 2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{4} (x^{2} + 2)) (x^{2} - 2)}{x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1

Factoriza $x^{2} + 2$ de ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 2}$