Álgebra Ejemplos

$\frac{a}{b} (1 - \frac{a}{x}) + \frac{b}{a} (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Paso 1

Simplifica $\frac{a}{b} \cdot (1 - \frac{a}{x}) + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x})$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Multiplica $\frac{a}{b}$ por $1 - \frac{a}{x}$ .

$\frac{a (1 - \frac{a}{x})}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Paso 1.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{a (\frac{x}{x} - \frac{a}{x})}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Paso 1.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a \frac{x - a}{x}}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Paso 1.1.3

Combina $a$ y $\frac{x - a}{x}$ .

$\frac{\frac{a (x - a)}{x}}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Paso 1.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{a (x - a)}{x} \cdot \frac{1}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Paso 1.1.5

Multiplica $\frac{a (x - a)}{x}$ por $\frac{1}{b}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Paso 1.1.6

Multiplica $\frac{b}{a}$ por $1 - \frac{b}{x}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (1 - \frac{b}{x})}{a} = 1$

Paso 1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.7.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (\frac{x}{x} - \frac{b}{x})}{a} = 1$

Paso 1.1.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b \frac{x - b}{x}}{a} = 1$

Paso 1.1.8

Combina $b$ y $\frac{x - b}{x}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{\frac{b (x - b)}{x}}{a} = 1$

Paso 1.1.9

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (x - b)}{x} \cdot \frac{1}{a} = 1$

Paso 1.1.10

Multiplica $\frac{b (x - b)}{x}$ por $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (x - b)}{x a} = 1$

Paso 1.2

Para escribir $\frac{a (x - a)}{x b}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} \cdot \frac{a}{a} + \frac{b (x - b)}{x a} = 1$

Paso 1.3

Para escribir $\frac{b (x - b)}{x a}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{b}{b}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} \cdot \frac{a}{a} + \frac{b (x - b)}{x a} \cdot \frac{b}{b} = 1$

Paso 1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $x b a$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{a (x - a)}{x b}$ por $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a (x - a) a}{x b a} + \frac{b (x - b)}{x a} \cdot \frac{b}{b} = 1$

Paso 1.4.2

Multiplica $\frac{b (x - b)}{x a}$ por $\frac{b}{b}$ .

$\frac{a (x - a) a}{x b a} + \frac{b (x - b) b}{x a b} = 1$

Paso 1.4.3

Reordena los factores de $x b a$ .

$\frac{a (x - a) a}{a b x} + \frac{b (x - b) b}{x a b} = 1$

Paso 1.4.4

Reordena los factores de $x a b$ .

$\frac{a (x - a) a}{a b x} + \frac{b (x - b) b}{a b x} = 1$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a (x - a) a + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1.1

Mueve $a$ .

$\frac{a \cdot a (x - a) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} (x - a) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} x + a^{2} (- a) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Paso 1.6.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{a^{2} x - a^{2} a + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Paso 1.6.4

Multiplica $a^{2}$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.4.1

Mueve $a$ .

$\frac{a^{2} x - (a \cdot a^{2}) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Paso 1.6.4.2

Multiplica $a$ por $a^{2}$ .

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Paso 1.6.4.2.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a^{2} x - (a^{1} a^{2}) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Paso 1.6.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{a^{2} x - a^{1 + 2} + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Paso 1.6.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Paso 1.6.5

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.5.1

Mueve $b$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b \cdot b (x - b)}{a b x} = 1$

Paso 1.6.5.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} (x - b)}{a b x} = 1$

Paso 1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x + b^{2} (- b)}{a b x} = 1$

Paso 1.6.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{2} b}{a b x} = 1$

Paso 1.6.8

Multiplica $b^{2}$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.8.1

Mueve $b$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - (b \cdot b^{2})}{a b x} = 1$

Paso 1.6.8.2

Multiplica $b$ por $b^{2}$ .

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Paso 1.6.8.2.1

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - (b^{1} b^{2})}{a b x} = 1$

Paso 1.6.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{1 + 2}}{a b x} = 1$

Paso 1.6.8.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} = 1$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$a b x, 1$

Paso 2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$a b x$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} = 1$ por $a b x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} = 1$ por $a b x$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} (a b x) = 1 (a b x)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $a b x$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} (a b x) = 1 (a b x)$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3} = 1 (a b x)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica $a b x$ por $1$ .

$a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3} = a b x$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $a b x$ de ambos lados de la ecuación.

$a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3} - a b x = 0$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Suma $a^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$a^{2} x + b^{2} x - b^{3} - a b x = a^{3}$

Paso 4.2.2

Suma $b^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$a^{2} x + b^{2} x - a b x = a^{3} + b^{3}$

Paso 4.3

Factoriza $x$ de $a^{2} x + b^{2} x - a b x$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $x$ de $a^{2} x$ .

$x a^{2} + b^{2} x - a b x = a^{3} + b^{3}$

Paso 4.3.2

Factoriza $x$ de $b^{2} x$ .

$x a^{2} + x b^{2} - a b x = a^{3} + b^{3}$

Paso 4.3.3

Factoriza $x$ de $- a b x$ .

$x a^{2} + x b^{2} + x (- a b) = a^{3} + b^{3}$

Paso 4.3.4

Factoriza $x$ de $x a^{2} + x b^{2}$ .

$x (a^{2} + b^{2}) + x (- a b) = a^{3} + b^{3}$

Paso 4.3.5

Factoriza $x$ de $x (a^{2} + b^{2}) + x (- a b)$ .

$x (a^{2} + b^{2} - a b) = a^{3} + b^{3}$

Paso 4.4

Divide cada término en $x (a^{2} + b^{2} - a b) = a^{3} + b^{3}$ por $a^{2} + b^{2} - a b$ y simplifica.

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Paso 4.4.1

Divide cada término en $x (a^{2} + b^{2} - a b) = a^{3} + b^{3}$ por $a^{2} + b^{2} - a b$ .

$\frac{x (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $a^{2} + b^{2} - a b$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Paso 4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Paso 4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Paso 4.4.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = a$ y $b = b$ .

$x = \frac{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Paso 4.4.3.3

Cancela el factor común de $a^{2} - a b + b^{2}$ y $a^{2} + b^{2} - a b$ .

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Paso 4.4.3.3.1

Reordena los términos.

$x = \frac{(a + b) (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Paso 4.4.3.3.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{(a + b) (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Paso 4.4.3.3.3

Divide $a + b$ por $1$ .

$x = a + b$