Álgebra Ejemplos

$| x^{2} + x - 6 | < 6$

Paso 1

Escribe $| x^{2} + x - 6 | < 6$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x^{2} + x - 6 \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $x^{2} + x - 6$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 1.2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 3$

Paso 1.2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Paso 1.2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 1.2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{2} - 6 - 6 \geq 0$

Paso 1.2.8.1.3

$24$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 1.2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} + 0 - 6 \geq 0$

Paso 1.2.8.2.3

$- 6$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 1.2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{2} + 4 - 6 \geq 0$

Paso 1.2.8.3.3

$14$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 1.2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 1.2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 3$ o $x \geq 2$

Paso 1.3

En la parte donde $x^{2} + x - 6$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x^{2} + x - 6 < 6$

Paso 1.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x^{2} + x - 6 < 0$

Paso 1.5

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.5.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Paso 1.5.2

Factoriza $x^{2} + x - 6$ con el método AC.

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Paso 1.5.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 1.5.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Paso 1.5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 1.5.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.5.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.5.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.5.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.5.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 1.5.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 1.5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 3$

Paso 1.5.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Paso 1.5.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.5.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.5.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 1.5.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{2} - 6 - 6 < 0$

Paso 1.5.8.1.3

$24$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.5.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.5.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.5.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} + 0 - 6 < 0$

Paso 1.5.8.2.3

$- 6$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 1.5.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.5.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 1.5.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{2} + 4 - 6 < 0$

Paso 1.5.8.3.3

$14$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.5.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 1.5.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 < x < 2$

Paso 1.6

En la parte donde $x^{2} + x - 6$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- (x^{2} + x - 6) < 6$

Paso 1.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x^{2} + x - 6 < 6 & x \leq - 3 or x \geq 2 \\ - (x^{2} + x - 6) < 6 & - 3 < x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8

Simplifica $- (x^{2} + x - 6) < 6$ .

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Paso 1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} x^{2} + x - 6 < 6 & x \leq - 3 or x \geq 2 \\ - x^{2} - x - - 6 < 6 & - 3 < x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

${\begin{cases} x^{2} + x - 6 < 6 & x \leq - 3 or x \geq 2 \\ - x^{2} - x + 6 < 6 & - 3 < x < 2 \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $x^{2} + x - 6 < 6$ cuando $x \leq - 3 or x \geq 2$ .

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Paso 2.1

Resuelve $x^{2} + x - 6 < 6$ en $x$ .

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Paso 2.1.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + x - 6 = 6$

Paso 2.1.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - 6 - 6 = 0$

Paso 2.1.3

Resta $6$ de $- 6$ .

$x^{2} + x - 12 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 2.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 2.1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Paso 2.1.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2.1.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.1.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.1.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.1.7

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.1.7.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.1.7.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.1.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 4$

Paso 2.1.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < 3$

$x > 3$

Paso 2.1.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.1.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.1.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 2.1.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{2} - 6 - 6 < 6$

Paso 2.1.10.1.3

$24$ del lado izquierdo no es menor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.1.10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.1.10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} + 0 - 6 < 6$

Paso 2.1.10.2.3

$- 6$ del lado izquierdo es menor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.1.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.1.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 2.1.10.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{2} + 6 - 6 < 6$

Paso 2.1.10.3.3

$36$ del lado izquierdo no es menor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.1.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 2.1.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 < x < 3$

Paso 2.2

Obtén la intersección de $- 4 < x < 3$ y $x \leq - 3 o r + x \geq 2$ .

$- 4 < x \leq - 3$ o $2 \leq x < 3$

Paso 3

Resuelve $- x^{2} - x + 6 < 6$ cuando $- 3 < x < 2$ .

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Paso 3.1

Resuelve $- x^{2} - x + 6 < 6$ en $x$ .

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Paso 3.1.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} - x + 6 = 6$

Paso 3.1.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} - x + 6 - 6 = 0$

Paso 3.1.3

Combina los términos opuestos en $- x^{2} - x + 6 - 6$ .

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Paso 3.1.3.1

Resta $6$ de $6$ .

$- x^{2} - x + 0 = 0$

Paso 3.1.3.2

Suma $- x^{2} - x$ y $0$ .

$- x^{2} - x = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza $- x$ de $- x^{2} - x$ .

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Paso 3.1.4.1

Factoriza $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x - x = 0$

Paso 3.1.4.2

Factoriza $- x$ de $- x$ .

$- x \cdot x - x \cdot 1 = 0$

Paso 3.1.4.3

Factoriza $- x$ de $- x (x) - x (1)$ .

$- x (x + 1) = 0$

Paso 3.1.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.1.6

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.1.7

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1.7.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.1.7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.1.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- x (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1$

Paso 3.1.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Paso 3.1.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.1.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.1.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 3.1.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$- {(- 4)}^{2} - (- 4) + 6 < 6$

Paso 3.1.10.1.3

$- 6$ del lado izquierdo es menor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.1.10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.1.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.5$

Paso 3.1.10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.5$ en la desigualdad original.

$- {(- 0.5)}^{2} - (- 0.5) + 6 < 6$

Paso 3.1.10.2.3

$6.25$ del lado izquierdo no es menor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.1.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.1.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 3.1.10.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$- {(2)}^{2} - (2) + 6 < 6$

Paso 3.1.10.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.1.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

Paso 3.1.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 1$ o $x > 0$

Paso 3.2

Obtén la intersección de $x < - 1 or x > 0$ y $- 3 < x < 2$ .

$- 3 < x < - 1$ o $0 < x < 2$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$- 4 < x < - 1$ o $0 < x < 3$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 4 < x < - 1 or 0 < x < 3$

Notación de intervalo:

$(- 4, - 1) \cup (0, 3)$

Paso 6