Álgebra Ejemplos

$\frac{2}{x - 3} + \frac{3}{x + 2} - \frac{4 x - 7}{x^{2} - x - 6}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2}{x - 3} + \frac{3}{x + 2} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{3}{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 3) (x + 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2}{x - 3}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3}{x + 2}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} + \frac{3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x + 2) + 3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x + 2) + 3 (x - 3) - (4 x - 7)}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 + 3 (x - 3) - (4 x - 7)}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x + 4 + 3 (x - 3) - (4 x - 7)}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 4 + 3 x + 3 \cdot - 3 - (4 x - 7)}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 6.4

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{2 x + 4 + 3 x - 9 - (4 x - 7)}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 4 + 3 x - 9 - (4 x) - - 7}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 6.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 + 3 x - 9 - 4 x - - 7}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 6.7

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{2 x + 4 + 3 x - 9 - 4 x + 7}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Suma $2 x$ y $3 x$ .

$\frac{5 x + 4 - 9 - 4 x + 7}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 7.2

Resta $4 x$ de $5 x$ .

$\frac{x + 4 - 9 + 7}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 7.3

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.3.1

Resta $9$ de $4$ .

$\frac{x - 5 + 7}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 7.3.2

Suma $- 5$ y $7$ .

$\frac{x + 2}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 2}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x - 3}$