Álgebra Ejemplos

$\log_{x - 3} (36) > 2$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{x - 3} (36) = 2$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $\log_{x - 3} (36) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

${(x - 3)}^{2} = 36$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x - 3 = \pm \sqrt{36}$

Paso 2.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{36}$ .

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x - 3 = \pm \sqrt{6^{2}}$

Paso 2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x - 3 = \pm 6$

Paso 2.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x - 3 = 6$

Paso 2.2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6 + 3$

Paso 2.2.3.2.2

Suma $6$ y $3$ .

$x = 9$

Paso 2.2.3.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x - 3 = - 6$

Paso 2.2.3.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.3.4.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - 6 + 3$

Paso 2.2.3.4.2

Suma $- 6$ y $3$ .

$x = - 3$

Paso 2.2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 9, - 3$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log_{x - 3} (36) - 2$ .

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Paso 3.1

Establece la base en $\log_{x - 3} (36)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x - 3 > 0$

Paso 3.2

Suma $3$ a ambos lados de la desigualdad.

$x > 3$

Paso 3.3

Establece la base en $\log_{x - 3} (36)$ igual que $1$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 3 = 1$

Paso 3.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1 + 3$

Paso 3.4.2

Suma $1$ y $3$ .

$x = 4$

Paso 3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(3, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 9$

$x > 9$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\log_{(- 6) - 3} (36) > 2$

Paso 5.1.3

El logaritmo de un número negativo es indefinido.

Indefinida

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\log_{(0) - 3} (36) > 2$

Paso 5.2.3

El logaritmo de un número negativo es indefinido.

Indefinida

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3.5$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $3.5$ en la desigualdad original.

$\log_{(3.5) - 3} (36) > 2$

Paso 5.3.3

$- 5.169925$ del lado izquierdo no es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.4

Prueba un valor en el intervalo $4 < x < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.4.1

Elije un valor en el intervalo $4 < x < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 5.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\log_{(6) - 3} (36) > 2$

Paso 5.4.3

$3.2618595$ del lado izquierdo es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 5.5.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$\log_{(12) - 3} (36) > 2$

Paso 5.5.3

$1.63092975$ del lado izquierdo no es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Undefined

$- 3 < x < 3$ Undefined

$3 < x < 4$ Falso

$4 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

Indefinida

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$4 < x < 9$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$4 < x < 9$

Notación de intervalo:

$(4, 9)$

Paso 8