Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{15 - 2 x - x^{2}}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{15 - 2 x - x^{2}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $15$ como $16$ más $- 1$

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{16 - 1 - 2 x - x^{2}}$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{16 - (1^{2} + 2 x + x^{2})}$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{16 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{16 - {(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{4^{2} - {(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = 1 + x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(4 + 1 + x) (4 - (1 + x))}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(5 + x) (4 - (1 + x))}$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(5 + x) (4 - 1 \cdot 1 - x)}$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(5 + x) (4 - 1 - x)}$

Paso 2.5.4

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(5 + x) (3 - x)}$

Paso 3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x - 3$ y $3 - x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 3) (x + 1)}{(5 + x) (3 - x)}$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (3)) (x + 1)}{(5 + x) (3 - x)}$

Paso 3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (- x + 3) (x + 1)}{(5 + x) (3 - x)}$

Paso 3.1.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (- x + 3) (x + 1)}{(5 + x) (- x + 3)}$

Paso 3.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- x + 3) (x + 1)}{(5 + x) (- x + 3)}$

Paso 3.1.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (x + 1)}{5 + x}$

Paso 3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 1}{5 + x}$