Álgebra Ejemplos

$\frac{4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x^{2} - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Paso 1

Factoriza $3 (x - 2) (x^{2} - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}$ .

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Paso 2

Cancela el factor común de $x + 2$ y ${(x + 2)}^{4}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x + 2$ de $4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)$ .

$\frac{(x + 2) (((4 (x + 1)) (3 x + 4)) (2 x - 3))}{3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Paso 2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x + 2$ de $3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}$ .

$\frac{(x + 2) (((4 (x + 1)) (3 x + 4)) (2 x - 3))}{(x + 2) (3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3})}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (((4 (x + 1)) (3 x + 4)) (2 x - 3))}{(x + 2) (3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3})}$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{((4 (x + 1)) (3 x + 4)) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3}}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3}}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{((4) (3 x + 4)) (2 x - 3)}{((3 (x - 2) (x - 1)) (2 x - 3)) {(x + 2)}^{3}}$

Paso 4

Cancela el factor común de $2 x - 3$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3}}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(4) (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$

Paso 5

Multiplica $4$ por $3 x + 4$ .

$\frac{4 (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$

Paso 6

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x + 1, 2 x - 3$

Paso 7

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $\frac{4 (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7.3

Sustituye $- 1$ por $x$ en $\frac{4 (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$ y simplifica.

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Paso 7.3.1

Sustituye $- 1$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{4 (3 \cdot - 1 + 4)}{3 (- 1 - 2) (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Paso 7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{4 (- 3 + 4)}{3 (- 1 - 2) (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Paso 7.3.2.1.2

Suma $- 3$ y $4$ .

$\frac{4 \cdot 1}{3 (- 1 - 2) (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.2.2.1

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot - 3 (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Paso 7.3.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{4 \cdot 1}{- 9 (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Paso 7.3.2.2.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{4 \cdot 1}{- 9 \cdot - 2 {(- 1 + 2)}^{3}}$

Paso 7.3.2.2.4

Multiplica $- 9$ por $- 2$ .

$\frac{4 \cdot 1}{18 {(- 1 + 2)}^{3}}$

Paso 7.3.2.2.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{4 \cdot 1}{18 \cdot 1^{3}}$

Paso 7.3.2.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4 \cdot 1}{18 \cdot 1}$

Paso 7.3.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4}{18 \cdot 1}$

Paso 7.3.2.4

Multiplica $18$ por $1$ .

$\frac{4}{18}$

Paso 7.3.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $18$ .

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Paso 7.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{18}$

Paso 7.3.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Paso 7.3.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Paso 7.3.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{9}$

Paso 7.4

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 7.5

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.5.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 7.5.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.5.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 7.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 7.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 7.6

Sustituye $\frac{3}{2}$ por $x$ en $\frac{4 (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$ y simplifica.

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Paso 7.6.1

Sustituye $\frac{3}{2}$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{4 (3 (\frac{3}{2}) + 4)}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2

Simplifica.

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Paso 7.6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.2.1.1

Multiplica $3 (\frac{3}{2})$ .

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Paso 7.6.2.1.1.1

Combina $3$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{3 \cdot 3}{2} + 4)}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{4 (\frac{9}{2} + 4)}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.1.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{9}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2})}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.1.3

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{9}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2})}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 \frac{9 + 4 \cdot 2}{2}}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.2.1.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{4 \frac{9 + 8}{2}}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.1.5.2

Suma $9$ y $8$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.6.2.2.1

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 (\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 (\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 \frac{3 - 2 \cdot 2}{2} (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.2.2.4.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 \frac{3 - 4}{2} (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.2.4.2

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 (\frac{- 1}{2}) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 \cdot - 1 \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.2.6

Combina exponentes.

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Paso 7.6.2.2.6.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- 3 (\frac{1}{2}) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.2.6.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{- 3}{2} (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Paso 7.6.2.2.6.3

Combina ${(\frac{3}{2} + 2)}^{3}$ y $\frac{- 3}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3}{2} + 2)}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.2.2.7.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.7.2

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3 + 2 \cdot 2}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.2.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3 + 4}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.7.4.2

Suma $3$ y $4$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{7}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.7.5

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{7^{3}}{2^{3}} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.7.6

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{343}{2^{3}} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.7.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{343}{8} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.8

Combina $\frac{343}{8}$ y $- 3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{343 \cdot - 3}{8}}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.9

Multiplica $343$ por $- 3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{- 1029}{8}}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{- \frac{1029}{8}}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.11

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{8} \cdot \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.12

Multiplica $- \frac{1029}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.6.2.2.12.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1029}{8}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{2 \cdot 8} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.12.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} (\frac{3}{2} - 1)}$

Paso 7.6.2.2.13

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} (\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

Paso 7.6.2.2.14

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} (\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

Paso 7.6.2.2.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 7.6.2.2.16

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.2.2.16.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} \cdot \frac{3 - 2}{2}}$

Paso 7.6.2.2.16.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 7.6.2.2.17

Combina exponentes.

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Paso 7.6.2.2.17.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1029}{16}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{2 \cdot 16}}$

Paso 7.6.2.2.17.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{32}}$

Paso 7.6.2.3

Combina $4$ y $\frac{17}{2}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 17}{2}}{- \frac{1029}{32}}$

Paso 7.6.2.4

Multiplica $4$ por $17$ .

$\frac{\frac{68}{2}}{- \frac{1029}{32}}$

Paso 7.6.2.5

Divide $68$ por $2$ .

$\frac{34}{- \frac{1029}{32}}$

Paso 7.6.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$34 (- \frac{32}{1029})$

Paso 7.6.2.7

Multiplica $34 (- \frac{32}{1029})$ .

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Paso 7.6.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $34$ .

$- 34 (\frac{32}{1029})$

Paso 7.6.2.7.2

Combina $- 34$ y $\frac{32}{1029}$ .

$\frac{- 34 \cdot 32}{1029}$

Paso 7.6.2.7.3

Multiplica $- 34$ por $32$ .

$\frac{- 1088}{1029}$

Paso 7.6.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1088}{1029}$

Paso 7.7

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(- 1, \frac{2}{9}), (\frac{3}{2}, - \frac{1088}{1029})$

Paso 8