Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ como una ecuación.

$y = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $- \frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Simplifica ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.1.2.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.1.2.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.1.2.4

Cancela el factor común.

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.1.2.5

Reescribe la expresión.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1.1.3.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.1.3.2

Cancela el factor común.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.2

Simplifica.

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 3.4.2.3.2

Combinar.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Paso 3.4.2.3.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.3.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Paso 3.4.2.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.4.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 3.4.4.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ es la inversa de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ y $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{3 \sqrt{x^{3}}}$

Paso 5.3.2

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{3} \geq 0$

Paso 5.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Paso 5.3.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.3.3.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x \geq 0$

Paso 5.3.4

Establece el denominador en $\frac{1}{3 \sqrt{x^{3}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt{x^{3}} = 0$

Paso 5.3.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt{x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 5.3.5.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 5.3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 5.3.5.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 5.3.5.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 5.3.5.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$9 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 5.3.5.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$9 x^{3} = 0^{2}$

Paso 5.3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$9 x^{3} = 0$

Paso 5.3.5.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.1

Divide cada término en $9 x^{3} = 0$ por $9$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.1.1

Divide cada término en $9 x^{3} = 0$ por $9$ .

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{0}{9}$

Paso 5.3.5.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.1.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{0}{9}$

Paso 5.3.5.3.1.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{9}$

Paso 5.3.5.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.1.3.1

Divide $0$ por $9$ .

$x^{3} = 0$

Paso 5.3.5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 5.3.5.3.3

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.3.5.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 5.3.6

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(0, \infty)$

Paso 5.4

Obtén el dominio de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}$

Paso 5.4.2

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}} = 0$

Paso 5.4.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}$ como ${(3 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 5.4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.2.1

Simplifica ${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 5.4.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 5.4.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 x)}^{2} = 0^{3}$

Paso 5.4.3.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$3^{2} x^{2} = 0^{3}$

Paso 5.4.3.2.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 x^{2} = 0^{3}$

Paso 5.4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$9 x^{2} = 0$

Paso 5.4.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.1

Divide cada término en $9 x^{2} = 0$ por $9$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.1.1

Divide cada término en $9 x^{2} = 0$ por $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Paso 5.4.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Paso 5.4.3.3.1.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{9}$

Paso 5.4.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.1.3.1

Divide $0$ por $9$ .

$x^{2} = 0$

Paso 5.4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.4.3.3.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.4.3.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.4.3.3.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.4.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5.5

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ es el rango de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ es el dominio de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ es la inversa de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6