Álgebra Ejemplos

$g (x) = - \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2}$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Combina ${(x + 3)}^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{{(x + 3)}^{2}}{4}$

Paso 1.1.2

Reordena los términos.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = 0$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, 0)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 1.5.3.3

Divide $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Paso 1.5.3.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.5.3.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{1}$

Paso 1.5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1$

Paso 1.5.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 3, - 1)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 3$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = 1$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 3, 0)$

Foco: $(- 3, - 1)$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = 1$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 3, 0)$

Foco: $(- 3, - 1)$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = 1$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{4} - \frac{3 (- 5)}{2} - \frac{9}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 5) = \frac{- {(- 5)}^{2} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 5}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 1 \cdot 25 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 5}{2}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 5}{2}$

Paso 2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.1

Resta $9$ de $- 25$ .

$f (- 5) = \frac{- 34}{4} + \frac{- 3 \cdot - 5}{2}$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $- 3$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 34}{4} + \frac{15}{2}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común de $- 34$ y $4$ .

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Paso 2.2.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 34$ .

$f (- 5) = \frac{2 (- 17)}{4} + \frac{15}{2}$

Paso 2.2.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.4.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- 5) = \frac{2 \cdot - 17}{2 \cdot 2} + \frac{15}{2}$

Paso 2.2.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 5) = \frac{2 \cdot - 17}{2 \cdot 2} + \frac{15}{2}$

Paso 2.2.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 5) = \frac{- 17}{2} + \frac{15}{2}$

Paso 2.2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 5) = - \frac{17}{2} + \frac{15}{2}$

Paso 2.2.5

Combina fracciones.

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Paso 2.2.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 5) = \frac{- 17 + 15}{2}$

Paso 2.2.5.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.5.2.1

Suma $- 17$ y $15$ .

$f (- 5) = \frac{- 2}{2}$

Paso 2.2.5.2.2

Divide $- 2$ por $2$ .

$f (- 5) = - 1$

Paso 2.2.6

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 5$ es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = - \frac{{(- 4)}^{2}}{4} - \frac{3 (- 4)}{2} - \frac{9}{4}$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 4) = \frac{- {(- 4)}^{2} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 4}{2}$

Paso 2.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = \frac{- 1 \cdot 16 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 4}{2}$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f (- 4) = \frac{- 16 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 4}{2}$

Paso 2.5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.3.1

Resta $9$ de $- 16$ .

$f (- 4) = \frac{- 25}{4} + \frac{- 3 \cdot - 4}{2}$

Paso 2.5.3.2

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{- 25}{4} + \frac{12}{2}$

Paso 2.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 4) = - \frac{25}{4} + \frac{12}{2}$

Paso 2.5.4.2

Divide $12$ por $2$ .

$f (- 4) = - \frac{25}{4} + 6$

Paso 2.5.5

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = - \frac{25}{4} + 6 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.5.6

Combina $6$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = - \frac{25}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Paso 2.5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 4) = \frac{- 25 + 6 \cdot 4}{4}$

Paso 2.5.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.8.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$f (- 4) = \frac{- 25 + 24}{4}$

Paso 2.5.8.2

Suma $- 25$ y $24$ .

$f (- 4) = \frac{- 1}{4}$

Paso 2.5.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 4) = - \frac{1}{4}$

Paso 2.5.10

La respuesta final es $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 4$ es $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 (- 1)}{2} - \frac{9}{4}$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Paso 2.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.2.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 2.8.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Paso 2.8.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Paso 2.8.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Paso 2.8.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Paso 2.8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.3.1

Resta $9$ de $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 10}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Paso 2.8.3.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 10}{4} + \frac{3}{2}$

Paso 2.8.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.4.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $4$ .

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Paso 2.8.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$f (- 1) = \frac{2 (- 5)}{4} + \frac{3}{2}$

Paso 2.8.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.8.4.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- 1) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.8.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.8.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 1) = \frac{- 5}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.8.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = - \frac{5}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.8.5

Combina fracciones.

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Paso 2.8.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{- 5 + 3}{2}$

Paso 2.8.5.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.5.2.1

Suma $- 5$ y $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 2}{2}$

Paso 2.8.5.2.2

Divide $- 2$ por $2$ .

$f (- 1) = - 1$

Paso 2.8.6

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} - \frac{3 (- 2)}{2} - \frac{9}{4}$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 2}{2}$

Paso 2.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 2}{2}$

Paso 2.11.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 2}{2}$

Paso 2.11.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.3.1

Resta $9$ de $- 4$ .

$f (- 2) = \frac{- 13}{4} + \frac{- 3 \cdot - 2}{2}$

Paso 2.11.3.2

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 13}{4} + \frac{6}{2}$

Paso 2.11.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{13}{4} + \frac{6}{2}$

Paso 2.11.4.2

Divide $6$ por $2$ .

$f (- 2) = - \frac{13}{4} + 3$

Paso 2.11.5

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{13}{4} + 3 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.11.6

Combina $3$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{13}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Paso 2.11.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = \frac{- 13 + 3 \cdot 4}{4}$

Paso 2.11.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.8.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 13 + 12}{4}$

Paso 2.11.8.2

Suma $- 13$ y $12$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{4}$

Paso 2.11.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{1}{4}$

Paso 2.11.10

La respuesta final es $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 1 \\ - 4 & - \frac{1}{4} \\ - 3 & 0 \\ - 2 & - \frac{1}{4} \\ - 1 & - 1 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 3, 0)$

Foco: $(- 3, - 1)$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 1 \\ - 4 & - \frac{1}{4} \\ - 3 & 0 \\ - 2 & - \frac{1}{4} \\ - 1 & - 1 \end{array}$

Paso 4