Álgebra Ejemplos

$x^{2} + 4 y^{2} = 4$

Paso 1

Dado que $x = r \cos (θ)$ , reemplaza $x$ por $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + 4 y^{2} = 4$

Paso 2

Dado que $y = r \sin (θ)$ , reemplaza $y$ por $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + 4 {(r \sin (θ))}^{2} = 4$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + 4 {(r \sin (θ))}^{2} = 4$

Paso 3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + 4 r^{2} \sin^{2} (θ) = 4$

Paso 3.2

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} \cos^{2} (θ) + 4 r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $r^{2}$ de $4 r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (4 \sin^{2} (θ)) = 4$

Paso 3.2.2

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (4 \sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)) = 4$

Paso 3.3

Divide cada término en $r^{2} (\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)) = 4$ por $\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $r^{2} (\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)) = 4$ por $\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{r^{2} (\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)} = \frac{4}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{r^{2} (\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)} = \frac{4}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $r^{2}$ por $1$ .

$r^{2} = \frac{4}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$r = \pm \sqrt{\frac{4}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Paso 3.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Paso 3.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Paso 3.5.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = \pm \frac{2}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Paso 3.5.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ por $\frac{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ .

$r = \pm \frac{2}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}} \cdot \frac{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Paso 3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ por $\frac{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)} \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Paso 3.5.4.2

Eleva $\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$ a la potencia de $1$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}^{1} \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}$

Paso 3.5.4.3

Eleva $\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$ a la potencia de $1$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}^{1} {\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}^{1}}$

Paso 3.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}^{1 + 1}}$

Paso 3.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}^{2}}$

Paso 3.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}^{2}$ como $\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)$ .

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Paso 3.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$ como ${(\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{({(\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{(\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{(\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{(\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{{(\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ))}^{1}}$

Paso 3.5.4.6.5

Simplifica.

$r = \pm \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$r = \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$r = - \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$r = \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

$r = - \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

$r = \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

$r = - \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

$r = \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$

$r = - \frac{2 \sqrt{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}}{\cos^{2} (θ) + 4 \sin^{2} (θ)}$