Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ como una ecuación.

$y = \frac{a x + b}{c x + d}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$a = \frac{y x + b}{c x + d}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y x + b}{c x + d} = a$ .

$\frac{y x + b}{c x + d} = a$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados por $c x + d$ .

$\frac{y x + b}{c x + d} (c x + d) = a (c x + d)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{y x + b}{c x + d} (c x + d)$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $c x + d$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x + b}{c x + d} (c x + d) = a (c x + d)$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y x + b = a (c x + d)$

Paso 3.3.1.1.2

Reordena $y$ y $x$ .

$x y + b = a (c x + d)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x y + b = a c x + a d$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $b$ de ambos lados de la ecuación.

$x y = a c x + a d - b$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $x y = a c x + a d - b$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $x y = a c x + a d - b$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.4.2.3.1.1.2

Divide $a c$ por $1$ .

$y = a c + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (a)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$ es la inversa de $f (a) = \frac{a x + b}{c x + d}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (a)) = a$ y $f (f^{- 1} (a)) = a$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (a))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (a))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = (\frac{a x + b}{c x + d}) \cdot c + (\frac{a x + b}{c x + d}) \cdot \frac{d}{x} - \frac{b}{x}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Combina $\frac{a x + b}{c x + d}$ y $c$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c}{c x + d} + (\frac{a x + b}{c x + d}) \cdot \frac{d}{x} - \frac{b}{x}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $\frac{a x + b}{c x + d}$ por $\frac{d}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c}{c x + d} + \frac{(a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Paso 5.2.4

Para escribir $\frac{(a x + b) c}{c x + d}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c}{c x + d} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $\frac{(a x + b) c}{c x + d}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c x}{(c x + d) x} + \frac{(a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Paso 5.2.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c x + (a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Paso 5.2.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.6.1

Factoriza $a x + b$ de $(a x + b) c x + (a x + b) d$ .

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Paso 5.2.6.1.1

Factoriza $a x + b$ de $(a x + b) c x$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x) + (a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Paso 5.2.6.1.2

Factoriza $a x + b$ de $(a x + b) d$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x) + (a x + b) (d)}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Paso 5.2.6.1.3

Factoriza $a x + b$ de $(a x + b) (c x) + (a x + b) (d)$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x + d)}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Paso 5.2.6.2

Cancela el factor común de $c x + d$ .

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Paso 5.2.6.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x + d)}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Paso 5.2.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x + b}{x} - \frac{b}{x}$

Paso 5.2.7

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x + b - b}{x}$

Paso 5.2.7.2

Combina los términos opuestos en $a x + b - b$ .

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Paso 5.2.7.2.1

Resta $b$ de $b$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x + 0}{x}$

Paso 5.2.7.2.2

Suma $a x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x}{x}$

Paso 5.2.7.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.7.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x}{x}$

Paso 5.2.7.3.2

Divide $a$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = a$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (a))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (a))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{(a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) \cdot x + b}{c x + d}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + \frac{a d}{x} \cdot x - \frac{b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + \frac{a d}{x} \cdot x - \frac{b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d - \frac{b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{b}{x}$ al numerador.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d + \frac{- b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Paso 5.3.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d + \frac{- b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Paso 5.3.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d - b + b}{c x + d}$

Paso 5.3.3.3

Suma $- b$ y $b$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d + 0}{c x + d}$

Paso 5.3.3.4

Suma $a c x + a d$ y $0$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d}{c x + d}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $a$ de $a c x + a d$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Factoriza $a$ de $a c x$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x) + a d}{c x + d}$

Paso 5.3.3.5.2

Factoriza $a$ de $a d$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x) + a (d)}{c x + d}$

Paso 5.3.3.5.3

Factoriza $a$ de $a (c x) + a (d)$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x + d)}{c x + d}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $c x + d$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x + d)}{c x + d}$

Paso 5.3.4.2

Divide $a$ por $1$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = a$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (a)) = a$ y $f (f^{- 1} (a)) = a$ , entonces $f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$ es la inversa de $f (a) = \frac{a x + b}{c x + d}$ .

$f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$