Álgebra Ejemplos

$(3) \cdot 9^{x + 3} = 542$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3 \cdot 9^{x + 3}) = \ln (542)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (3 \cdot 9^{x + 3})$ como $\ln (3) + \ln (9^{x + 3})$ .

$\ln (3) + \ln (9^{x + 3}) = \ln (542)$

Paso 2.2

Expande $\ln (9^{x + 3})$ ; para ello, mueve $x + 3$ fuera del logaritmo.

$\ln (3) + (x + 3) \ln (9) = \ln (542)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (3) + x \ln (9) + 3 \ln (9) = \ln (542)$

Paso 4

Reordena $\ln (3)$ y $x \ln (9)$ .

$x \ln (9) + \ln (3) + 3 \ln (9) = \ln (542)$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (9) + \ln (3) + 3 \ln (9) - \ln (542) = 0$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (9) + 3 \ln (9) + \ln (\frac{3}{542}) = 0$

Paso 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $3 \ln (9)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (9) + \ln (\frac{3}{542}) = - 3 \ln (9)$

Paso 7.2

Resta $\ln (\frac{3}{542})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (9) = - 3 \ln (9) - \ln (\frac{3}{542})$

Paso 8

Divide cada término en $x \ln (9) = - 3 \ln (9) - \ln (\frac{3}{542})$ por $\ln (9)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x \ln (9) = - 3 \ln (9) - \ln (\frac{3}{542})$ por $\ln (9)$ .

$\frac{x \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{- 3 \ln (9)}{\ln (9)} + \frac{- \ln (\frac{3}{542})}{\ln (9)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $\ln (9)$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{- 3 \ln (9)}{\ln (9)} + \frac{- \ln (\frac{3}{542})}{\ln (9)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \ln (9)}{\ln (9)} + \frac{- \ln (\frac{3}{542})}{\ln (9)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $\ln (9)$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 3 \ln (9)}{\ln (9)} + \frac{- \ln (\frac{3}{542})}{\ln (9)}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $- 3$ por $1$ .

$x = - 3 + \frac{- \ln (\frac{3}{542})}{\ln (9)}$

Paso 8.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - 3 - \frac{\ln (\frac{3}{542})}{\ln (9)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 3 - \frac{\ln (\frac{3}{542})}{\ln (9)}$

Forma decimal:

$x = - 0.63490097 \dots$