Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{8 x - 40}{x^{2} - 25}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Paso 2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + 3 x - 10$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $3$ .

$- 2, 5$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Paso 4

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{8 x - 40}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 x - 40}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Factoriza $8$ de $8 x - 40$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x) - 40}$

Paso 6.1.2

Factoriza $8$ de $- 40$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 x + 8 \cdot - 5}$

Paso 6.1.3

Factoriza $8$ de $8 x + 8 \cdot - 5$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 5)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 5)}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$(x^{2} + 2 x + 4) \frac{x - 5}{8 (x - 5)}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$(x^{2} + 2 x + 4) \frac{x - 5}{8 (x - 5)}$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$(x^{2} + 2 x + 4) \frac{1}{8}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{1}{8} + 2 x \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{8})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + 2 x \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{8})$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2}}{8} + 2 (x) \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{8})$

Paso 7.2.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{x^{2}}{8} + 2 (x) \frac{1}{2 (4)} + 4 (\frac{1}{8})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{8} + 2 x \frac{1}{2 \cdot 4} + 4 (\frac{1}{8})$

Paso 7.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{8} + x \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{8})$

Paso 7.3

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 4 (\frac{1}{8})$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 4 \frac{1}{4 (2)}$

Paso 7.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 4 \frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 7.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 8

Para escribir $\frac{x}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 9

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{x}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Paso 9.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x \cdot 2}{8} + \frac{1}{2}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + x \cdot 2}{8} + \frac{1}{2}$

Paso 11

Factoriza $x$ de $x^{2} + x \cdot 2$ .

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Paso 11.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{8} + \frac{1}{2}$

Paso 11.2

Factoriza $x$ de $x \cdot 2$ .

$\frac{x \cdot x + x (2)}{8} + \frac{1}{2}$

Paso 11.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{1}{2}$

Paso 12

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 13

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 13.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4}$

Paso 13.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{4}{8}$

Paso 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x + 2) + 4}{8}$

Paso 15

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 4}{8}$

Paso 15.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 4}{8}$

Paso 15.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{8}$