Álgebra Ejemplos

$4 \sin^{2} (x) = 5 + 4 \cos (x)$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sin^{2} (x) - 5 = 4 \cos (x)$

Paso 1.2

Resta $4 \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sin^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Paso 2

Reemplaza $4 \sin^{2} (x)$ con $4 (1 - \cos^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Paso 3.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Paso 4

Resta $5$ de $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 1 - 4 \cos (x) = 0$

Paso 5

Reordena el polinomio.

$- 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 6

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

Paso 7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

Paso 7.1.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 7.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (4 u^{2}) - (4 u)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 7.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

Paso 7.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 7.2.1

Reescribe $4 u^{2}$ como ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

Paso 7.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

Paso 7.2.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Paso 7.2.4

Reescribe el polinomio.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 7.2.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 2 u$ y $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

Paso 8

Divide cada término en $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 8.2.2

Divide ${(2 u + 1)}^{2}$ por $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Paso 9

Establece $2 u + 1$ igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Paso 10

Resuelve $u$

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Paso 10.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u = - 1$

Paso 10.2

Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.1

Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 10.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 10.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Paso 10.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{2}$

Paso 11

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 12

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 13

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 14

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 15

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 15.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 15.2

Combina fracciones.

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Paso 15.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 15.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 15.3

Simplifica el numerador.

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Paso 15.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 15.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 16

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 16.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 16.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 16.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 16.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 17

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$