Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{2}}{2} \csc (x) - 1 = 0$

Paso 1

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\csc (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Paso 2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = 1$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Simplifica $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2}$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Paso 4.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Paso 4.1.1.2

Cancela el factor común de $\sqrt{2}$ .

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Paso 4.1.1.2.1

Factoriza $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2} \csc (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Paso 4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Paso 4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Paso 4.2.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.2.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Paso 4.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Paso 4.2.1.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{2} \cdot 1$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Paso 5

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $arccsc (\sqrt{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 7

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Paso 8

Simplifica $π - \frac{π}{4}$ .

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Paso 8.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 8.2

Combina fracciones.

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Paso 8.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 8.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 8.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 9

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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Paso 9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 9.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 10

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$