Álgebra Ejemplos

$7^{x - 3} = 4 \cdot 5^{\frac{x}{2}}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (7^{x - 3}) = \ln (4 \cdot 5^{\frac{x}{2}})$

Paso 2

Expande $\ln (7^{x - 3})$ ; para ello, mueve $x - 3$ fuera del logaritmo.

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4 \cdot 5^{\frac{x}{2}})$

Paso 3

Reescribe $\ln (4 \cdot 5^{\frac{x}{2}})$ como $\ln (4) + \ln (5^{\frac{x}{2}})$ .

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4) + \ln (5^{\frac{x}{2}})$

Paso 4

Expande $\ln (5^{\frac{x}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{x}{2}$ fuera del logaritmo.

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4) + \frac{x}{2} \ln (5)$

Paso 5

Combina $\frac{x}{2}$ y $\ln (5)$ .

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1

Simplifica $(x - 3) \ln (7)$ .

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Paso 6.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (7) - 3 \ln (7) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Paso 6.1.1.2

Simplifica $- 3 \ln (7)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$x \ln (7) - \ln (7^{3}) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Paso 6.1.1.3

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$x \ln (7) - \ln (343) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (7) - \ln (343) - \ln (4) - \frac{x \ln (5)}{2} = 0$

Paso 6.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Suma $\ln (343)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (7) - \ln (4) - \frac{x \ln (5)}{2} = \ln (343)$

Paso 6.3.2

Suma $\ln (4)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (7) - \frac{x \ln (5)}{2} = \ln (343) + \ln (4)$

Paso 6.4

Factoriza $x$ de $x \ln (7) - \frac{x \ln (5)}{2}$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $x$ de $x \ln (7)$ .

$x (\ln (7)) - \frac{x \ln (5)}{2} = \ln (343) + \ln (4)$

Paso 6.4.2

Factoriza $x$ de $- \frac{x \ln (5)}{2}$ .

$x (\ln (7)) + x (- \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$

Paso 6.4.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (7)) + x (- \frac{\ln (5)}{2})$ .

$x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$

Paso 6.5

Divide cada término en $x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$ por $\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}$ y simplifica.

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Paso 6.5.1

Divide cada término en $x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$ por $\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}$ .

$\frac{x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2})}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} = \frac{\ln (343)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}$ .

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Paso 6.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2})}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} = \frac{\ln (343)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.3.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.5.3.1.1.1

Para escribir $\ln (7)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\ln (7) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.3.1.1.2

Combina $\ln (7)$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\frac{\ln (7) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.3.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\ln (343)}{\frac{\ln (7) \cdot 2 - \ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.3.1.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (7)$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\frac{2 \ln (7) - \ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \ln (343) \frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.3.1.3

Combina $\ln (343)$ y $\frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$ .

$x = \frac{\ln (343) \cdot 2}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.3.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (343)$ .

$x = \frac{2 \cdot \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.3.1.5

Simplifica el denominador.

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Paso 6.5.3.1.5.1

Para escribir $\ln (7)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.3.1.5.2

Combina $\ln (7)$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\frac{\ln (7) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.3.1.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\frac{\ln (7) \cdot 2 - \ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.3.1.5.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (7)$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\frac{2 \ln (7) - \ln (5)}{2}}$

Paso 6.5.3.1.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \ln (4) \frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Paso 6.5.3.1.7

Combina $\ln (4)$ y $\frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4) \cdot 2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Paso 6.5.3.1.8

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (4)$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Paso 6.5.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.5.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 \ln (343) + 2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Paso 6.5.3.2.2

Factoriza $2$ de $2 \ln (343) + 2 \ln (4)$ .

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Paso 6.5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \ln (343)$ .

$x = \frac{2 \ln (343) + 2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Paso 6.5.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $2 \ln (4)$ .

$x = \frac{2 \ln (343) + 2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Paso 6.5.3.2.2.3

Factoriza $2$ de $2 \ln (343) + 2 \ln (4)$ .

$x = \frac{2 (\ln (343) + \ln (4))}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{2 (\ln (343) + \ln (4))}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 6.33024935 \dots$