Álgebra Ejemplos

$\frac{8}{9 - a^{2}} \div \frac{4 a^{2} - 4 a - 24}{a^{2} - 6 a + 9}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{8}{9 - a^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 6 a + 9}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{8}{3^{2} - a^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 6 a + 9}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = a$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{a^{2} - 6 a + 9}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{a^{2} - 6 a + 3^{2}}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 a = 2 \cdot a \cdot 3$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^{2}}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 3$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Factoriza $4$ de $4 a^{2} - 4 a - 24$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $4$ de $4 a^{2}$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2}) - 4 a - 24}$

Paso 4.1.2

Factoriza $4$ de $- 4 a$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2}) + 4 (- a) - 24}$

Paso 4.1.3

Factoriza $4$ de $- 24$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2}) + 4 (- a) + 4 (- 6)}$

Paso 4.1.4

Factoriza $4$ de $4 (a^{2}) + 4 (- a)$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2} - a) + 4 (- 6)}$

Paso 4.1.5

Factoriza $4$ de $4 (a^{2} - a) + 4 (- 6)$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2} - a - 6)}$

Paso 4.2

Factoriza $a^{2} - a - 6$ con el método AC.

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Paso 4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 4.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 ((a - 3) (a + 2))}$

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a - 3) (a + 2)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combinar.

$\frac{8 {(a - 3)}^{2}}{(3 + a) (3 - a) (4 (a - 3) (a + 2))}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $4$ de $8 {(a - 3)}^{2}$ .

$\frac{4 (2 {(a - 3)}^{2})}{(3 + a) (3 - a) (4 (a - 3) (a + 2))}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $4$ de $(3 + a) (3 - a) (4 (a - 3) (a + 2))$ .

$\frac{4 (2 {(a - 3)}^{2})}{4 ((3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2)))}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (2 {(a - 3)}^{2})}{4 ((3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2)))}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 {(a - 3)}^{2}}{(3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2))}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de ${(a - 3)}^{2}$ y $a - 3$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $a - 3$ de $2 {(a - 3)}^{2}$ .

$\frac{(a - 3) (2 (a - 3))}{(3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2))}$

Paso 5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $a - 3$ de $(3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2))$ .

$\frac{(a - 3) (2 (a - 3))}{(a - 3) ((3 + a) (3 - a) (a + 2))}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 3) (2 (a - 3))}{(a - 3) ((3 + a) (3 - a) (a + 2))}$

Paso 5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (a - 3)}{(3 + a) (3 - a) (a + 2)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $a - 3$ y $3 - a$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $- 1$ de $a$ .

$\frac{2 (- 1 (- a) - 3)}{(3 + a) (3 - a) (a + 2)}$

Paso 5.4.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{2 (- 1 (- a) - 1 (3))}{(3 + a) (3 - a) (a + 2)}$

Paso 5.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- a) - 1 (3)$ .

$\frac{2 (- 1 (- a + 3))}{(3 + a) (3 - a) (a + 2)}$

Paso 5.4.4

Reordena los términos.

$\frac{2 (- 1 (- a + 3))}{(3 + a) (- a + 3) (a + 2)}$

Paso 5.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (- a + 3))}{(3 + a) (- a + 3) (a + 2)}$

Paso 5.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{(3 + a) (a + 2)}$

Paso 6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{(3 + a) (a + 2)}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{(3 + a) (a + 2)}$