Álgebra Ejemplos

${(\frac{2}{3})}^{5 x + 2} = {(\frac{3}{2})}^{2 x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2})$ ; para ello, mueve $5 x + 2$ fuera del logaritmo.

$(5 x + 2) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{2}{3})$ como $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Paso 4

Expande $\ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$ ; para ello, mueve $2 x$ fuera del logaritmo.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x \ln (\frac{3}{2})$

Paso 5

Reescribe $\ln (\frac{3}{2})$ como $\ln (3) - \ln (2)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.1

Simplifica $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Paso 6.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Paso 6.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Paso 6.1.3

Expande $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x (\ln (2) - \ln (3)) + 2 (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Paso 6.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 2 (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Paso 6.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Paso 6.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x \ln (2) + 5 \cdot - 1 x \ln (3) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Paso 6.1.4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Paso 6.2

Simplifica $2 x (\ln (3) - \ln (2))$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) + 2 x (- \ln (2))$

Paso 6.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) + 2 \cdot - 1 x \ln (2)$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) - 2 x \ln (2)$

Paso 6.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Resta $2 x \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) = - 2 x \ln (2)$

Paso 6.3.2

Suma $2 x \ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) + 2 x \ln (2) = 0$

Paso 6.3.3

Suma $5 x \ln (2)$ y $2 x \ln (2)$ .

$- 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = 0$

Paso 6.3.4

Resta $2 x \ln (3)$ de $- 5 x \ln (3)$ .

$2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = 0$

Paso 6.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.4.1

Resta $2 \ln (2)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \ln (3) - 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2)$

Paso 6.4.2

Suma $2 \ln (3)$ a ambos lados de la ecuación.

$- 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Paso 6.5

Factoriza $7 x$ de $- 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2)$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $7 x$ de $- 7 x \ln (3)$ .

$7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Paso 6.5.2

Factoriza $7 x$ de $7 x \ln (2)$ .

$7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Paso 6.5.3

Factoriza $7 x$ de $7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2)$ .

$7 x (- 1 \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Paso 6.6

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Paso 6.7

Divide cada término en $7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ por $7 (- \ln (3) + \ln (2))$ y simplifica.

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Paso 6.7.1

Divide cada término en $7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ por $7 (- \ln (3) + \ln (2))$ .

$\frac{7 x (- \ln (3) + \ln (2))}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Paso 6.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.7.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 6.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x (- \ln (3) + \ln (2))}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Paso 6.7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Paso 6.7.2.2

Cancela el factor común de $- \ln (3) + \ln (2)$ .

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Paso 6.7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Paso 6.7.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Paso 6.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Forma decimal:

$x = - 0.\overline{285714}$