Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{2 x} - \frac{7}{5 x} < 3$

Paso 1

Simplifica $\frac{1}{2 x} - \frac{7}{5 x}$ .

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2 x} \cdot \frac{5}{5} - \frac{7}{5 x} < 3$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{7}{5 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 x} \cdot \frac{5}{5} - \frac{7}{5 x} \cdot \frac{2}{2} < 3$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $10 x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{2 x \cdot 5} - \frac{7}{5 x} \cdot \frac{2}{2} < 3$

Paso 1.3.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{5}{10 x} - \frac{7}{5 x} \cdot \frac{2}{2} < 3$

Paso 1.3.3

Multiplica $\frac{7}{5 x}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{10 x} - \frac{7 \cdot 2}{5 x \cdot 2} < 3$

Paso 1.3.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{5}{10 x} - \frac{7 \cdot 2}{10 x} < 3$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 - 7 \cdot 2}{10 x} < 3$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$\frac{5 - 14}{10 x} < 3$

Paso 1.5.2

Resta $14$ de $5$ .

$\frac{- 9}{10 x} < 3$

Paso 1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{10 x} < 3$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $10 x$ .

$- \frac{9}{10 x} (10 x) = 3 (10 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $10 x$ .

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Paso 3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9}{10 x}$ al numerador.

$\frac{- 9}{10 x} (10 x) = 3 (10 x)$

Paso 3.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 9}{10 x} (10 x) = 3 (10 x)$

Paso 3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- 9 = 3 (10 x)$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Multiplica $10$ por $3$ .

$- 9 = 30 x$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $30 x = - 9$ .

$30 x = - 9$

Paso 4.2

Divide cada término en $30 x = - 9$ por $30$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $30 x = - 9$ por $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{- 9}{30}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{30 x}{30} = \frac{- 9}{30}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{30}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común de $- 9$ y $30$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$x = \frac{3 (- 3)}{30}$

Paso 4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $30$ .

$x = \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 10}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 10}$

Paso 4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 3}{10}$

Paso 4.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{10}$

Paso 5

Obtén el dominio de $- \frac{9}{10 x} - 3$ .

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{9}{10 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$10 x = 0$

Paso 5.2

Divide cada término en $10 x = 0$ por $10$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $10 x = 0$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{10}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $0$ por $10$ .

$x = 0$

Paso 5.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{3}{10}$

$- \frac{3}{10} < x < 0$

$x > 0$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{3}{10}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{3}{10}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2 (- 3)} - \frac{7}{5 (- 3)} < 3$

Paso 7.1.3

$0.3$ del lado izquierdo es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{3}{10} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{3}{10} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.15$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.15$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2 (- 0.15)} - \frac{7}{5 (- 0.15)} < 3$

Paso 7.2.3

$6$ del lado izquierdo no es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2 (2)} - \frac{7}{5 (2)} < 3$

Paso 7.3.3

$- 0.45$ del lado izquierdo es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{3}{10}$ Verdadero

$- \frac{3}{10} < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

$x < - \frac{3}{10}$ Verdadero

$- \frac{3}{10} < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{3}{10}$ o $x > 0$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \frac{3}{10} or x > 0$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{3}{10}) \cup (0, \infty)$

Paso 10