Álgebra Ejemplos

$(\frac{2 x^{2} - 5 x - 3}{x^{2} + x - 20}) (\frac{x^{2} + 8 x + 15}{2 x^{2} + 9 x + 4})$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) - 3}{x^{2} + x - 20} \cdot \frac{x^{2} + 8 x + 15}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Paso 1.1.2

Reescribe $- 5$ como $1$ más $- 6$

$\frac{2 x^{2} + (1 - 6) x - 3}{x^{2} + x - 20} \cdot \frac{x^{2} + 8 x + 15}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3}{x^{2} + x - 20} \cdot \frac{x^{2} + 8 x + 15}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Paso 1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 6 x - 3}{x^{2} + x - 20} \cdot \frac{x^{2} + 8 x + 15}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Paso 1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x^{2} + x) - 6 x - 3}{x^{2} + x - 20} \cdot \frac{x^{2} + 8 x + 15}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)}{x^{2} + x - 20} \cdot \frac{x^{2} + 8 x + 15}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Paso 1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{x^{2} + x - 20} \cdot \frac{x^{2} + 8 x + 15}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + x - 20$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $1$ .

$- 4, 5$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} + 8 x + 15}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + 8 x + 15$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $15$ y cuya suma es $8$ .

$3, 5$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 5)}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ y cuya suma es $b = 9$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $9$ de $9 x$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 5)}{2 x^{2} + 9 (x) + 4}$

Paso 4.1.2

Reescribe $9$ como $1$ más $8$

$\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 5)}{2 x^{2} + (1 + 8) x + 4}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 5)}{2 x^{2} + 1 x + 8 x + 4}$

Paso 4.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 5)}{2 x^{2} + x + 8 x + 4}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 5)}{(2 x^{2} + x) + 8 x + 4}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 5)}{x (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 5)}{(2 x + 1) (x + 4)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 5)}{(2 x + 1) (x + 4)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 3}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 5)}{x + 4}$

Paso 6

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x + 5$ de $(x - 4) (x + 5)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 5) (x - 4)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 5)}{x + 4}$

Paso 6.2

Factoriza $x + 5$ de $(x + 3) (x + 5)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 5) (x - 4)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 4}$

Paso 6.3

Cancela el factor común.

$\frac{x - 3}{(x + 5) (x - 4)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 4}$

Paso 6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3}{x + 4}$

Paso 7

Multiplica $\frac{x - 3}{x - 4}$ por $\frac{x + 3}{x + 4}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x - 4) (x + 4)}$