Álgebra Ejemplos

$\log (x + 3) - \log (x + 1) = 1$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x + 3}{x + 1}) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log (\frac{x + 3}{x + 1}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{x + 3}{x + 1}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x + 3 = 10 (x + 1)$

Paso 4

Simplifica $10 (x + 1)$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 3 = 10 x + 10 \cdot 1$

Paso 4.2

Multiplica $10$ por $1$ .

$x + 3 = 10 x + 10$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 3 - 10 x = 10$

Paso 5.2

Resta $10 x$ de $x$ .

$- 9 x + 3 = 10$

Paso 6

Factoriza $3$ de $- 9 x + 3$ .

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Paso 6.1

Factoriza $3$ de $- 9 x$ .

$3 (- 3 x) + 3 = 10$

Paso 6.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$3 (- 3 x) + 3 (1) = 10$

Paso 6.3

Factoriza $3$ de $3 (- 3 x) + 3 (1)$ .

$3 (- 3 x + 1) = 10$

Paso 7

Divide cada término en $3 (- 3 x + 1) = 10$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $3 (- 3 x + 1) = 10$ por $3$ .

$\frac{3 (- 3 x + 1)}{3} = \frac{10}{3}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 3 x + 1)}{3} = \frac{10}{3}$

Paso 7.2.1.2

Divide $- 3 x + 1$ por $1$ .

$- 3 x + 1 = \frac{10}{3}$

Paso 8

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x = \frac{10}{3} - 1$

Paso 8.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 3 x = \frac{10}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 8.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 3 x = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Paso 8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 3 x = \frac{10 - 1 \cdot 3}{3}$

Paso 8.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 x = \frac{10 - 3}{3}$

Paso 8.5.2

Resta $3$ de $10$ .

$- 3 x = \frac{7}{3}$

Paso 9

Divide cada término en $- 3 x = \frac{7}{3}$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $- 3 x = \frac{7}{3}$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{\frac{7}{3}}{- 3}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{\frac{7}{3}}{- 3}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7}{3}}{- 3}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

Paso 9.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{7}{3} (- \frac{1}{3})$

Paso 9.3.3

Multiplica $\frac{7}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{7}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = - \frac{7}{3 \cdot 3}$

Paso 9.3.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = - \frac{7}{9}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{7}{9}$

Forma decimal:

$x = - 0.\overline{7}$