Álgebra Ejemplos

$2 x^{2} + 4 \leq 8 x$

Paso 1

Resta $8 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 x^{2} + 4 - 8 x \leq 0$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} + 4 - 8 x = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 4 - 8 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 - 8 x = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 - 8 x = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $2$ de $- 8 x$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 2 (- 4 x) = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot 2$ .

$2 (x^{2} + 2) + 2 (- 4 x) = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} + 2) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 - 4 x) = 0$

Paso 3.2

Reordena los términos.

$2 (x^{2} - 4 x + 2) = 0$

Paso 4

Divide cada término en $2 (x^{2} - 4 x + 2) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $2 (x^{2} - 4 x + 2) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x^{2} - 4 x + 2$ por $1$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = \frac{0}{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Paso 8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 8.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Paso 8.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + \sqrt{2}$

Paso 9

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 9.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 9.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Paso 9.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - \sqrt{2}$

Paso 10

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2 - \sqrt{2}$

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$

$x > 2 + \sqrt{2}$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2 - \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2 - \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{2} + 4 \leq 8 (0)$

Paso 12.1.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$2 {(2)}^{2} + 4 \leq 8 (2)$

Paso 12.2.3

$12$ del lado izquierdo es menor que $16$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2 + \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2 + \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$2 {(6)}^{2} + 4 \leq 8 (6)$

Paso 12.3.3

$76$ del lado izquierdo es mayor que $48$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2 - \sqrt{2}$ Falso

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Verdadero

$x > 2 + \sqrt{2}$ Falso

$x < 2 - \sqrt{2}$ Falso

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Verdadero

$x > 2 + \sqrt{2}$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 - \sqrt{2} \leq x \leq 2 + \sqrt{2}$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$

Paso 15