Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{x^{3} - 1} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 2

Para escribir $\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x^{2} + x + 1) (x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{(x^{2} + x + 1) (x - 1)} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 3.2

Reordena los factores de $(x^{2} + x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x^{2} (x - 1) - x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2} (x - 1) - x^{3}$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{x^{2} (3 (x - 1)) - x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 5.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 (x - 1)) + x^{2} (- x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 5.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (3 (x - 1)) + x^{2} (- x)$ .

$\frac{x^{2} (3 (x - 1) - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (3 x + 3 \cdot - 1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x - 3 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 5.4

Resta $x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 6

Para escribir $- \frac{2 x}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{2 x}{x - 1}$ por $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - 2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (2 x - 3) - 2 x (x^{2} + x + 1)$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (2 x - 3)$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) - 2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8.1.3

Factoriza $x$ de $x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} + x + 1))$ .

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8.4

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x (2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{x (2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8.8

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x (- 3 x + 0 - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8.9

Suma $- 3 x$ y $0$ .

$\frac{x (- 3 x - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 8.10

Resta $2 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x (- 5 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 9

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 9.1

Factoriza $- 1$ de $- 5 x$ .

$\frac{x (- (5 x) - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 9.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{x (- (5 x) - 1 (2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 9.3

Factoriza $- 1$ de $- (5 x) - 1 (2)$ .

$\frac{x (- (5 x + 2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 9.4

Simplifica la expresión.

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Paso 9.4.1

Reescribe $- (5 x + 2)$ como $- 1 (5 x + 2)$ .

$\frac{x (- 1 (5 x + 2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 9.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x (5 x + 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$