Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$

Paso 1

Factoriza $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Paso 1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{6} + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Paso 1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Paso 1.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 + 4 \cdot 1 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Paso 1.3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 + 4 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Paso 1.3.5

Suma $1$ y $4$ .

$5 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Paso 1.3.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$5 - 41 \cdot 1 + 36$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 41$ por $1$ .

$5 - 41 + 36$

Paso 1.3.8

Resta $41$ de $5$ .

$- 36 + 36$

Paso 1.3.9

Suma $- 36$ y $36$ .

$0$

Paso 1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36}{x + 1}$

Paso 1.5

Divide $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ por $x + 1$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{6}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{6} + x^{5}$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{5} - x^{4}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{4} + 5 x^{3}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Paso 1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

Paso 1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

Paso 1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Paso 1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x^{3} - 5 x^{2}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Paso 1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

Paso 1.5.21

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

Paso 1.5.22

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 36 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

Paso 1.5.23

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Paso 1.5.24

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 36 x^{2} - 36 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Paso 1.5.25

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Paso 1.5.26

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

Paso 1.5.27

Divide el término de mayor orden en el dividendo $36 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

Paso 1.5.28

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

Paso 1.5.29

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $36 x + 36$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

Paso 1.5.30

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

$0$

Paso 1.5.31

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36$

Paso 1.6

Escribe $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ como un conjunto de factores.

$f (x) = (x + 1) (x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36)$

Paso 2

Reagrupa los términos.

$f (x) = (x + 1) (x^{5} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 3

Factoriza $x$ de $x^{5} + 5 x^{3} - 36 x$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$f (x) = (x + 1) (x \cdot x^{4} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 3.2

Factoriza $x$ de $5 x^{3}$ .

$f (x) = (x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 3.3

Factoriza $x$ de $- 36 x$ .

$f (x) = (x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 3.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (5 x^{2})$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 3.5

Factoriza $x$ de $x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 4

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x ({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 5

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x (u^{2} + 5 u - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 6

Factoriza $u^{2} + 5 u - 36$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 36$ y cuya suma es $5$ .

$- 4, 9$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f (x) = (x + 1) (x ((u - 4) (u + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 8

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 9

Factoriza.

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Paso 9.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$f (x) = (x + 1) (x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 10

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 36)$

Paso 11

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36)$

Paso 12

Factoriza por agrupación.

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Paso 12.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 36 = - 36$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 12.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 u$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36)$

Paso 12.1.2

Reescribe $- 5$ como $4$ más $- 9$

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + (4 - 9) u + 36)$

Paso 12.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36)$

Paso 12.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 12.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36)$

Paso 12.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + u (- u + 4) + 9 (- u + 4))$

Paso 12.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u + 4$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- u + 4) (u + 9))$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 4) (x^{2} + 9))$

Paso 14

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} + 9))$

Paso 15

Reordena $- x^{2}$ y $2^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2^{2} - x^{2}) (x^{2} + 9))$

Paso 16

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9))$

Paso 17

Factoriza $x^{2} + 9$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ .

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Paso 17.1

Factoriza $x^{2} + 9$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9))$

Paso 17.2

Factoriza $x^{2} + 9$ de $(2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x)))$

Paso 17.3

Factoriza $x^{2} + 9$ de $(x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x))$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 18

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x \cdot x + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 19

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 20

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + 2 x) (x - 2) + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 21

Expande $(x^{2} + 2 x) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 21.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 2) + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 21.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 21.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 22

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 22.1

Simplifica cada término.

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Paso 22.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 22.1.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 22.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 22.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 22.1.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 22.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 22.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 22.1.3.1

Mueve $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 22.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 22.1.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 22.2

Suma $- 2 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + 0 - 4 x + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 22.3

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + (2 + x) (2 - x)))$

Paso 23

Expande $(2 + x) (2 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 (2 - x) + x (2 - x)))$

Paso 23.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x)))$

Paso 23.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x)))$

Paso 24

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 24.1

Simplifica cada término.

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Paso 24.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x)))$

Paso 24.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x)))$

Paso 24.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x + x (- x)))$

Paso 24.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x))$

Paso 24.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 24.1.5.1

Mueve $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x)))$

Paso 24.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x^{2}))$

Paso 24.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 0 - x^{2}))$

Paso 24.3

Suma $4$ y $0$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - x^{2}))$

Paso 25

Reordena los términos.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4))$

Paso 26

Factoriza.

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Paso 26.1

Factoriza.

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Paso 26.1.1

Reescribe $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ en forma factorizada.

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Paso 26.1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 26.1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4))$

Paso 26.1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1)))$

Paso 26.1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 4)))$

Paso 26.1.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 2^{2})))$

Paso 26.1.1.4

Factoriza.

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Paso 26.1.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) ((x + 2) (x - 2))))$

Paso 26.1.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x + 2) (x - 2)))$

Paso 26.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2))$

Paso 26.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = (x + 1) (x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2)$