Álgebra Ejemplos

${(\frac{49}{81})}^{x + 1} \geq \frac{9}{7}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{49}{81})}^{x + 1}) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{49}{81})}^{x + 1})$ ; para ello, mueve $x + 1$ fuera del logaritmo.

$(x + 1) \ln (\frac{49}{81}) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\frac{49}{81})$ como $\ln (49) - \ln (81)$ .

$(x + 1) (\ln (49) - \ln (81)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Paso 2.3

Reescribe $\ln (81)$ como $\ln (3^{4})$ .

$(x + 1) (\ln (49) - \ln (3^{4})) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Paso 2.4

Expande $\ln (3^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$(x + 1) (\ln (49) - (4 \ln (3))) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Paso 2.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3))$ .

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Paso 3.1.1

Expande $(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (\ln (49) - 4 \ln (3)) + 1 (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Paso 3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + 1 (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Paso 3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + 1 \ln (49) + 1 (- 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Paso 3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Multiplica $\ln (49)$ por $1$ .

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) + 1 (- 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $- 4 \ln (3)$ por $1$ .

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) - 4 \ln (3) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Paso 3.1.2.2

Reordena los factores en $x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) - 4 \ln (3)$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49) - 4 \ln (3) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49) - 4 \ln (3) - \ln (\frac{9}{7}) = 0$

Paso 5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{49}{\frac{9}{7}}) - 4 \ln (3) = 0$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49 (\frac{7}{9})) - 4 \ln (3) = 0$

Paso 6.2

Multiplica $49 (\frac{7}{9})$ .

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Paso 6.2.1

Combina $49$ y $\frac{7}{9}$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{49 \cdot 7}{9}) - 4 \ln (3) = 0$

Paso 6.2.2

Multiplica $49$ por $7$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3) = 0$

Paso 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $\ln (\frac{343}{9})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) - 4 \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9})$

Paso 7.2

Suma $4 \ln (3)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Paso 8

Factoriza $x$ de $x \ln (49) - 4 x \ln (3)$ .

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Paso 8.1

Factoriza $x$ de $x \ln (49)$ .

$x (\ln (49)) - 4 x \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Paso 8.2

Factoriza $x$ de $- 4 x \ln (3)$ .

$x (\ln (49)) + x (- 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Paso 8.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (49)) + x (- 4 \ln (3))$ .

$x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Paso 9

Divide cada término en $x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$ por $\ln (49) - 4 \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$ por $\ln (49) - 4 \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (49) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $\ln (49) - 4 \ln (3)$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (49) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Paso 9.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (\frac{343}{9})$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Paso 9.3.3

Factoriza $- 1$ de $4 \ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) - (- 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Paso 9.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \ln (\frac{343}{9}) - (- 4 \ln (3))$ .

$x = \frac{- (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Paso 9.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.5.1

Reescribe $- (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))$ como $- 1 (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Paso 9.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}]$

Paso 12