Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 5 x - 6}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 5 x - 6}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 5 x - 6}$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2} - 12 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x) - 12 x} \cdot \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 5 x - 6}$

Paso 2.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x) + 4 x (- 3)} \cdot \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 5 x - 6}$

Paso 2.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x) + 4 x (- 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 5 x - 6}$

Paso 2.2

Factoriza $2$ de $2 x + 4$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{2 (x) + 4}{- x^{2} + 5 x - 6}$

Paso 2.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{2 x + 2 \cdot 2}{- x^{2} + 5 x - 6}$

Paso 2.2.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{- x^{2} + 5 x - 6}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 6 = 6$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{- x^{2} + 5 (x) - 6}$

Paso 3.1.2

Reescribe $5$ como $2$ más $3$

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{- x^{2} + (2 + 3) x - 6}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{- x^{2} + 2 x + 3 x - 6}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(- x^{2} + 2 x) + 3 x - 6}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{x (- x + 2) - 3 (- x + 2)}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x (x - 3)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(- x + 2) (x - 3)}$

Paso 4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $4 x (x - 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (2 x (x - 3))} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(- x + 2) (x - 3)}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (2 x (x - 3))} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(- x + 2) (x - 3)}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x (x - 3)} \cdot \frac{x + 2}{(- x + 2) (x - 3)}$

Paso 5

Multiplica $\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x (x - 3)}$ por $\frac{x + 2}{(- x + 2) (x - 3)}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) (x + 2)}{2 x (x - 3) ((- x + 2) (x - 3))}$

Paso 6

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{1} (x + 2) (x - 2)}{2 x (x - 3) ((- x + 2) (x - 3))}$

Paso 7

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (x - 2)}{2 x (x - 3) ((- x + 2) (x - 3))}$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2)}{2 x (x - 3) ((- x + 2) (x - 3))}$

Paso 9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}{2 x (x - 3) ((- x + 2) (x - 3))}$

Paso 10

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}{2 x ({(x - 3)}^{1} (x - 3)) (- x + 2)}$

Paso 11

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}{2 x ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1}) (- x + 2)}$

Paso 12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}{2 x {(x - 3)}^{1 + 1} (- x + 2)}$

Paso 13

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}{2 x {(x - 3)}^{2} (- x + 2)}$

Paso 14

Cancela el factor común de $x - 2$ y $- x + 2$ .

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Paso 14.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2} (- 1 (- x) - 2)}{2 x {(x - 3)}^{2} (- x + 2)}$

Paso 14.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2} (- 1 (- x) - 1 (2))}{2 x {(x - 3)}^{2} (- x + 2)}$

Paso 14.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (2)$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2} (- 1 (- x + 2))}{2 x {(x - 3)}^{2} (- x + 2)}$

Paso 14.4

Cancela el factor común.

$\frac{{(x + 2)}^{2} (- 1 (- x + 2))}{2 x {(x - 3)}^{2} (- x + 2)}$

Paso 14.5

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot (- 1)}{2 x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 15

Simplifica la expresión.

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Paso 15.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x + 2)}^{2}}{2 x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 15.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{{(x + 2)}^{2}}{2 x {(x - 3)}^{2}}$