Trigonometrie Beispiele

$5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$

Schritt 1

Quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ als $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ um.

$(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.2

Multipliziere $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sin (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $5 \sin (t) (5 \sin (t))$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 \sin (t) \sin (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.3

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 {\sin (t)}^{1 + 1} + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere $5 \cos (t) (5 \cos (t))$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \cos (t) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.1.4.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.1.4.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 {\cos (t)}^{1 + 1} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $25 \sin (t) \cos (t)$ um.

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.3.3

Addiere $25 \cos (t) \sin (t)$ und $25 \cos (t) \sin (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.4.1

Bewege $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $25$ aus $25 \sin^{2} (t)$ heraus.

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $25$ aus $25 \cos^{2} (t)$ heraus.

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.4.4

Faktorisiere $25$ aus $25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t))$ heraus.

$25 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$25 \cdot 1 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Schritt 3

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = 25$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $t$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$50 \cos (t) \sin (t) = 25 - 25$

Schritt 4.2

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$50 \cos (t) \sin (t) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (t) = 0$

$\sin (t) = 0$

Schritt 6

Setze $\cos (t)$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cos (t)$ gleich $0$ .

$\cos (t) = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cos (t) = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 6.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$t = \arccos (0)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 6.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (t)$ .

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Schritt 6.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (t)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Setze $\sin (t)$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\sin (t)$ gleich $0$ .

$\sin (t) = 0$

Schritt 7.2

Löse $\sin (t) = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 7.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$t = \arcsin (0)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$t = 0$

Schritt 7.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$t = π - 0$

Schritt 7.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$t = π$

Schritt 7.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (t)$ .

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Schritt 7.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (t)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $50 \cos (t) \sin (t) = 0$ wahr machen.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$t = \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Verifiziere jede der Lösngen durch Einsetzen in $5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$ und Auflösen.

$t = π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$