Trigonometrie Beispiele

$16 = - 10 \cos (\frac{2 π}{150} t) + 10$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- 10 \cos (\frac{2 π}{150} t) + 10 = 16$ um.

$- 10 \cos (\frac{2 π}{150} t) + 10 = 16$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (\frac{2 π}{150} t)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 \cos (\frac{2 π}{150} t) = 16 - 10$

Schritt 2.2

Subtrahiere $10$ von $16$ .

$- 10 \cos (\frac{2 π}{150} t) = 6$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- 10 \cos (\frac{2 π}{150} t) = 6$ durch $- 10$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 10 \cos (\frac{2 π}{150} t) = 6$ durch $- 10$ .

$\frac{- 10 \cos (\frac{2 π}{150} t)}{- 10} = \frac{6}{- 10}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 10$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 10 \cos (\frac{2 π}{150} t)}{- 10} = \frac{6}{- 10}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{2 π}{150} t)$ durch $1$ .

$\cos (\frac{2 π}{150} t) = \frac{6}{- 10}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 10$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\cos (\frac{2 π}{150} t) = \frac{2 (3)}{- 10}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\cos (\frac{2 π}{150} t) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 5}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{2 π}{150} t) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 5}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{2 π}{150} t) = \frac{3}{- 5}$

Schritt 3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (\frac{2 π}{150} t) = - \frac{3}{5}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{2 π}{150} t = \arccos (- \frac{3}{5})$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\frac{2 π}{150} t$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $150$ .

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{150} t = \arccos (- \frac{3}{5})$

Schritt 5.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $150$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 75} t = \arccos (- \frac{3}{5})$

Schritt 5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 75} t = \arccos (- \frac{3}{5})$

Schritt 5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{75} t = \arccos (- \frac{3}{5})$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $\frac{π}{75}$ und $t$ .

$\frac{π t}{75} = \arccos (- \frac{3}{5})$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Berechne $\arccos (- \frac{3}{5})$ .

$\frac{π t}{75} = 2.21429743$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{75}{π}$ .

$\frac{75}{π} \cdot \frac{π t}{75} = \frac{75}{π} \cdot 2.21429743$

Schritt 8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache $\frac{75}{π} \cdot \frac{π t}{75}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $75$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{75}{π} \cdot \frac{π t}{75} = \frac{75}{π} \cdot 2.21429743$

Schritt 8.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{75}{π} \cdot 2.21429743$

Schritt 8.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{75}{π} \cdot 2.21429743$

Schritt 8.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{75}{π} \cdot 2.21429743$

Schritt 8.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{75}{π} \cdot 2.21429743$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $\frac{75}{π} \cdot 2.21429743$ .

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Schritt 8.2.1.1

Multipliziere $\frac{75}{π} \cdot 2.21429743$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{75}{π}$ und $2.21429743$ .

$t = \frac{75 \cdot 2.21429743}{π}$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $75$ mit $2.21429743$ .

$t = \frac{166.07230766}{π}$

Schritt 8.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{166.07230766}{3.14159265}$

Schritt 8.2.1.3

Dividiere $166.07230766$ durch $3.14159265$ .

$t = 52.86245735$

Schritt 9

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{π t}{75} = 2 (3.14159265) - 2.21429743$

Schritt 10

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 10.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{75}{π}$ .

$\frac{75}{π} \cdot \frac{π t}{75} = \frac{75}{π} (2 (3.14159265) - 2.21429743)$

Schritt 10.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1.1

Vereinfache $\frac{75}{π} \cdot \frac{π t}{75}$ .

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Schritt 10.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $75$ .

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Schritt 10.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{75}{π} \cdot \frac{π t}{75} = \frac{75}{π} (2 (3.14159265) - 2.21429743)$

Schritt 10.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{75}{π} (2 (3.14159265) - 2.21429743)$

Schritt 10.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 10.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{75}{π} (2 (3.14159265) - 2.21429743)$

Schritt 10.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{75}{π} (2 (3.14159265) - 2.21429743)$

Schritt 10.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{75}{π} (2 (3.14159265) - 2.21429743)$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache $\frac{75}{π} (2 (3.14159265) - 2.21429743)$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{75}{π} (6.2831853 - 2.21429743)$

Schritt 10.2.2.1.2

Subtrahiere $2.21429743$ von $6.2831853$ .

$t = \frac{75}{π} \cdot 4.06888787$

Schritt 10.2.2.1.3

Multipliziere $\frac{75}{π} \cdot 4.06888787$ .

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Schritt 10.2.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{75}{π}$ und $4.06888787$ .

$t = \frac{75 \cdot 4.06888787}{π}$

Schritt 10.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $75$ mit $4.06888787$ .

$t = \frac{305.16659036}{π}$

Schritt 10.2.2.1.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{305.16659036}{3.14159265}$

Schritt 10.2.2.1.5

Dividiere $305.16659036$ durch $3.14159265$ .

$t = 97.13754264$

Schritt 11

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{2 π}{150} t)$ .

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Schritt 11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{75}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{75} |}$

Schritt 11.3

$\frac{π}{75}$ ist ungefähr $0.0418879$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{75}}$

Schritt 11.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{75}{π}$

Schritt 11.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 11.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{75}{π}$

Schritt 11.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{75}{π}$

Schritt 11.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 75$

Schritt 11.6

Mutltipliziere $2$ mit $75$ .

$150$

Schritt 12

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{2 π}{150} t)$ ist $150$ , d. h., Werte werden sich alle $150$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 52.86245735 + 150 n, 97.13754264 + 150 n$ , für jede Ganzzahl $n$