Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 4 \sin (2 x - π) - 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 4 \sin (2 x - π) - 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 \sin (2 x - π) - 1 = 0$ um.

$4 \sin (2 x - π) - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin (2 x - π) = 1$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (2 x - π) = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (2 x - π) = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (2 x - π)}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (2 x - π)}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $\sin (2 x - π)$ durch $1$ .

$\sin (2 x - π) = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x - π = \arcsin (\frac{1}{4})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Berechne $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$2 x - π = 0.25268025$

Schritt 1.2.6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 0.25268025 + π$

Schritt 1.2.6.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$2 x = 0.25268025 + 3.14159265$

Schritt 1.2.6.3

Addiere $0.25268025$ und $3.14159265$ .

$2 x = 3.3942729$

Schritt 1.2.7

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3.3942729$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3.3942729$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3.3942729}{2}$

Schritt 1.2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3.3942729}{2}$

Schritt 1.2.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3.3942729}{2}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.7.3.1

Dividiere $3.3942729$ durch $2$ .

$x = 1.69713645$

Schritt 1.2.8

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x - π = (3.14159265) - 0.25268025$

Schritt 1.2.9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.9.1

Subtrahiere $0.25268025$ von $3.14159265$ .

$2 x - π = 2.88891239$

Schritt 1.2.9.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.9.2.1

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 2.88891239 + π$

Schritt 1.2.9.2.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$2 x = 2.88891239 + 3.14159265$

Schritt 1.2.9.2.3

Addiere $2.88891239$ und $3.14159265$ .

$2 x = 6.03050505$

Schritt 1.2.9.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 6.03050505$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.9.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 6.03050505$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6.03050505}{2}$

Schritt 1.2.9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.9.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6.03050505}{2}$

Schritt 1.2.9.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6.03050505}{2}$

Schritt 1.2.9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.9.3.3.1

Dividiere $6.03050505$ durch $2$ .

$x = 3.01525252$

Schritt 1.2.10

Ermittele die Periode von $\sin (2 x - π)$ .

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Schritt 1.2.10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.10.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 1.2.10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.2.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.2.10.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.11

Die Periode der Funktion $\sin (2 x - π)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.69713645 + π n, 3.01525252 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1.69713645 + π n, 0), (3.01525252 + π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 4 \sin (2 (0) - π) - 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \sin (2 (0) - π) - 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $4 \sin (2 (0) - π) - 1$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 4 \sin (0 - π) - 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Subtrahiere $π$ von $0$ .

$y = 4 \sin (- π) - 1$

Schritt 2.2.2.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$y = 4 \sin (0) - 1$

Schritt 2.2.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 1$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 - 1$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = - 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1.69713645 + π n, 0), (3.01525252 + π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 4