Trigonometrie Beispiele

$y = \log (x + 3)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \log (y + 3)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\log (y + 3) = x$ um.

$\log (y + 3) = x$

Schritt 2.2

Schreibe $\log (y + 3) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{x} = y + 3$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $y + 3 = 10^{x}$ um.

$y + 3 = 10^{x}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 10^{x} - 3$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 10^{x} - 3$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 10^{x} - 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log (x + 3)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\log (x + 3))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log (x + 3)) = 10^{\log (x + 3)} - 3$

Schritt 4.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\log (x + 3)) = x + 3 - 3$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (\log (x + 3)) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\log (x + 3)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (10^{x} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (10^{x} - 3) = \log ((10^{x} - 3) + 3)$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(10^{x} - 3) + 3$ .

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (10^{x} - 3) = \log (10^{x} + 0)$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $10^{x}$ und $0$ .

$f (10^{x} - 3) = \log (10^{x})$

Schritt 4.3.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (10^{x} - 3) = x \log (10)$

Schritt 4.3.5

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$f (10^{x} - 3) = x \cdot 1$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (10^{x} - 3) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 10^{x} - 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log (x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = 10^{x} - 3$