Trigonometrie Beispiele

$f (x) = (x - 1) (x - \sqrt{7 i}) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 1

Multipliziere $(x - 1) (x - \sqrt{7 i})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x (x - \sqrt{7 i}) - 1 (x - \sqrt{7 i})) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x \cdot x + x (- \sqrt{7 i}) - 1 (x - \sqrt{7 i})) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x \cdot x + x (- \sqrt{7 i}) - 1 x - 1 (- \sqrt{7 i})) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = (x^{2} + x (- \sqrt{7 i}) - 1 x - 1 (- \sqrt{7 i})) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 2.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (x) = (x^{2} + x (- \sqrt{7 i}) - x - 1 (- \sqrt{7 i})) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 2.3

Multipliziere $- 1 (- \sqrt{7 i})$ .

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x) = (x^{2} + x (- \sqrt{7 i}) - x + 1 \sqrt{7 i}) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{7 i}$ mit $1$ .

$f (x) = (x^{2} + x (- \sqrt{7 i}) - x + \sqrt{7 i}) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 3

Multipliziere $(x^{2} + x (- \sqrt{7 i}) - x + \sqrt{7 i}) (x + \sqrt{7 i})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x - x \sqrt{7 i} + \sqrt{7 i} x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x - x \sqrt{7 i} + \sqrt{7 i} x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$ .

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Schritt 4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- x \sqrt{7 i}$ und $\sqrt{7 i} x$ neu an.

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x - x \sqrt{7 i} + x \sqrt{7 i} + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.1.2

Addiere $- x \sqrt{7 i}$ und $x \sqrt{7 i}$ .

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + 0 + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.1.3

Addiere $x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x$ und $0$ .

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{2 + 1} + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $x$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x \cdot x (- \sqrt{7 i}) + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.3

Multipliziere $x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Potenziere $\sqrt{7 i}$ mit $1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- (\sqrt{7 i} \sqrt{7 i})) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere $\sqrt{7 i}$ mit $1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- (\sqrt{7 i} \sqrt{7 i})) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- {\sqrt{7 i}}^{1 + 1}) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- {\sqrt{7 i}}^{2}) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.4

Schreibe ${\sqrt{7 i}}^{2}$ als $7 i$ um.

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Schritt 4.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 i}$ als ${(7 i)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- {({(7 i)}^{\frac{1}{2}})}^{2}) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- {(7 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- {(7 i)}^{\frac{2}{2}}) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- {(7 i)}^{\frac{2}{2}}) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- (7 i)) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.4.5

Vereinfache.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- (7 i)) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.6.1

Bewege $x$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - (x \cdot x) + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{7 i (7 i)}$

Schritt 4.2.8

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{49 i i}$

Schritt 4.2.9

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{49 (i i)}$

Schritt 4.2.10

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{49 (i i)}$

Schritt 4.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{49 i^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{49 i^{2}}$

Schritt 4.2.13

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{49 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.14

Mutltipliziere $49$ mit $- 1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{- 49}$

Schritt 4.2.15

Schreibe $- 49$ als $- 1 (49)$ um.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{- 1 \cdot 49}$

Schritt 4.2.16

Schreibe $\sqrt{- 1 (49)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ um.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Schritt 4.2.17

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + i \cdot \sqrt{49}$

Schritt 4.2.18

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Schritt 4.2.19

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + i \cdot 7$

Schritt 4.2.20

Bringe $7$ auf die linke Seite von $i$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + 7 i$

Schritt 4.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + 7 i$ .

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Schritt 4.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x^{2} \sqrt{7 i}$ und $x^{2} (- \sqrt{7 i})$ neu an.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} - x^{2} \sqrt{7 i} + x (- 7 i) - x^{2} + 7 i$

Schritt 4.3.1.2

Subtrahiere $x^{2} \sqrt{7 i}$ von $x^{2} \sqrt{7 i}$ .

$f (x) = x^{3} + 0 + x (- 7 i) - x^{2} + 7 i$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f (x) = x^{3} + x (- 7 i) - x^{2} + 7 i$

Schritt 4.3.2

Stelle die Faktoren in $x^{3} + x (- 7 i) - x^{2} + 7 i$ um.

$f (x) = x^{3} - 7 x i - x^{2} + 7 i$

Schritt 5