Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - 5 \cos (7 x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 5 \cos (7 x)$ als Gleichung.

$y = - 5 \cos (7 x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - 5 \cos (7 y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- 5 \cos (7 y) = x$ um.

$- 5 \cos (7 y) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 \cos (7 y) = x$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 \cos (7 y) = x$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 \cos (7 y)}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 \cos (7 y)}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\cos (7 y)$ durch $1$ .

$\cos (7 y) = \frac{x}{- 5}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (7 y) = - \frac{x}{5}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$7 y = \arccos (- \frac{x}{5})$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $7 y = \arccos (- \frac{x}{5})$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $7 y = \arccos (- \frac{x}{5})$ durch $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y}{7} = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 5 \cos (7 x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 5 \cos (7 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 5 \cos (7 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- 5 \cos (7 x)}{5})}{7}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 \cos (7 x)$ heraus.

$f^{- 1} (- 5 \cos (7 x)) = \frac{\arccos (- \frac{5 (- \cos (7 x))}{5})}{7}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f^{- 1} (- 5 \cos (7 x)) = \frac{\arccos (- \frac{5 (- \cos (7 x))}{5 (1)})}{7}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 5 \cos (7 x)) = \frac{\arccos (- \frac{5 (- \cos (7 x))}{5 \cdot 1})}{7}$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 5 \cos (7 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (7 x)}{1})}{7}$

Schritt 5.2.3.2.4

Dividiere $- \cos (7 x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 5 \cos (7 x)) = \frac{\arccos (\cos (7 x))}{7}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}) = - 5 \cos (7 (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}))$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}) = - 5 \cos (7 (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}))$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}) = - 5 \cos (\arccos (- \frac{x}{5}))$

Schritt 5.3.4

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}) = - 5 (- \frac{x}{5})$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{5}$ in den Zähler.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}) = - 5 \frac{- x}{5}$

Schritt 5.3.5.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}) = 5 (- 1) (\frac{- x}{5})$

Schritt 5.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}) = 5 \cdot (- 1 \frac{- x}{5})$

Schritt 5.3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}) = - 1 (- x)$

Schritt 5.3.6

Multipliziere.

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Schritt 5.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}) = 1 x$

Schritt 5.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 5 \cos (7 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{7}$